Matematika sangat berarti bagiku, apapun tak bisa kulakukan tanpa matematika. Segala kehidupan di dunia ini tidak bisa terpisah dari matematika. Pada awalnya, matematika terkesan mengerikan bagiku. Hanya ada simbol-simbol yang hanya akan menambah kepusingan untukku, pusing dengan hitungan-hitungan yang rumit dengan rumus yang bejibun banyaknya. Padahal sebenarnya kita bisa mempermudahnya dengan cara kita. Membuat rumus sendiri yang mempermudah kita dalam memahaminya. Dengan begitu, kita juga bisa disebut sebagai sejarahwan matematika. Matematika dalam diriku merupakan konsep diriku. Banyak yang kita pelajari dari matematika. Berpikir rasional, menginvestigasi masalah dengan logika.
Pythagoras beranggapan bahwa bilangan itu magic karena baginya bilangan itu penting. Dia mengatakan bahwa bilangan itu mengatur agama karena bisa sebagai pedoman yang pada saat itu memang belum ada agama. Matematika itu bisa mnegubah mitos menjadi logos. Thales berpendapat bahwa bumi terbuat dari air, tetapi pendapat tersebut tentu saja tidak mutlak benar karena banyak pendapat lain bermunculan yang mengatakan bahwa bumi itu terbuat dari tanah bahkan benda. Pada zaman yunani, ada mitos mengatakan bahwa pelangi itu adalah jembatan bagi bidadari yang akan turun ke bumi. Tentu saja hal itu tidak benar karena sesungguhnya pelangi itu bukanklah jembatan melainkan pembiasan sinar menjadi berbagai macam warna yang semula hanya berwarna putih. Sebenarnya mitos dan logos itu berkaitan, maka dari itu kita tidak bisa mengesampingkan religi.
Jika kita berpikir vertikal. Matematika dalam spiritual, normatif, formal, dan material. Material misalnya, balok untuk anak SD selalu berwarna tetap sedangkan bagi orang dewasa balok itu tidak berwarna. Formal misalnya, 2+3 = 5. Normatif misalnya, 1+1 tidak harus sama dengan 2, jika kita sangkutkan dengan keluarga 1 ibu ditambah 1 ayah akan menghasilkan 3 anak. Spiritual misalnya, x/~ = 0 yang artinya sebesar-besarnya dosa yang telah kita perbuat jika dibagi dengan permohonsn apapun yang tak terhingga mudah-mudahan saja Tuhan mengampuni dosa kita atau menjadi bersih. Contoh lain, x0 = 1 sebanyak-banyaknya usaha kita jika dilakukan dengan ikhlas maka akan menghasilkan suatu hasil yang memuaskan.
Plato juga memberi arti yang sangat besar bagi matematika. Dia menerapkan ilmu bahwa matematika itu ada di dalam pikiran kita masing-masing. Matematika tidak lain adalah ide. Matematika dengan cara abstraksi dan idealisasi. Abstraksi artinya mempelajari yang penting, sedamgkan idealisasi maksudnya adalah menganggap sempurna sifat yang ada seperti halnya lurus benar-benar lurus. Matematika itu ide atau pengalaman? Menurut plato memandang matematika sebagai ide,sedangkan menurut pendapat Emanuel Khan matematika itu adalah rasio. Antara rasio dan pengalaman harusnya digabungkan, itulah matematika.
Matematika dalam kehidupan sehari-hari adalah suatu ilmu yang mempelajari tentang hitung menghitung secara sistematis dan objektif dan yang berhubungan dengan angka,ilmu matematika sangat banyak berguna bagi manusia dalam hal apapun .tanpa kita sadari kita selalu menggunakan ilmu mtematika tersebut karena salah satu karateristik matematika tersebut adalah diterapkan atau diaplikasikan dalam bidang ilmu lain maupun dalam kehidupan sehari-hari. salah satu contoh adalah matematika sebagai ilmu deduktif hal ini matematika tidak menerima generalisasi berdasarkan pengamatan (induktif).meskipun untuk membantu pemikiran pada tahap-tahap permulaan seringkali kita membutuhkan bantuan. Ada juga matematika yang digunakan sebagai ilmu yang berstruktur dan pola keteraturan yang terorganisir unsur-unsur yang tidak didefinisikan meliputi titik, garis dan bidang. Titik dalam matematika diasumsikan ada tetapi tidak dalam suatu kalimat menjelaskan. Demikian dalam garis dan bidang.
Dunia itu bersifat tetap, sebagai bukti bahwa manusia dari dulu sampai sekarang tetap mempunyai kepala satu. Kecuali yang kelainan fisik,kontradiksi dalam bentuk fiksi itu namanya anomali yang bertolak belakang dengan hukum alam. Matematika harus lebih di mengerti dengan mempelajari material matematika guna dipratekkan di kegiatan yang lain selain sebagai guru. Material matematika ini terikat dalam ruang dan waktu.
Perkembangan matematika pada abad pertengahan di Eropa seiring dengan lahirnya Leonardo dari Pisa yang lebih dikenal dengan julukan Fibonacci (artinya anak Bonaccio). Bonaccio sendiri artinya anak bodoh, tapi dia bukan orang bodoh karena jabatannya adalah seorang konsul yang wewakili Pisa. Jabatan yang dipegang ini membuat dia sering bepergian. Dihadapan banyak ahli dan melakukan tanya-jawab dan wawancara langsung, Fibonacci memecahkan problem aljabar dan persamaan kuadrat. Pertemuan dengan Frederick dan pertanyaan-pertanyaan yang diajukan oleh ahli-ahli tersebut, dibukukan dan diterbitkan tidak lama kemudian. Tahun 1225 dia mengeluarkan buku Liber Quadrotorum (buku tentang Kuadrat) yang dipersembahkannya untuk Sang raja. Dalam buku itu tercantum problem yang mampu mengusik “akal sehat” matematikawan yaitu tentang problem kelinci beranak-pinak. Pertanyaan sederhana tapi diperlukan kejelian berpikir. “Berapa pasang kelinci yang akan beranak-pinak selama satu tahun. Diawali oleh sepasang kelinci, apabila setiap bulan sepasang anak kelinci menjadi produktif pada bulan kedua”.
a.Akhir bulan kedua, mereka kawin dan kelinci betina I melahirkan sepasang anak kelinci beda jenis kelamin.
b.Akhir bulan kedua, kelinci betina melahirkan sepasang anak baru, sehingga ada 2 pasang kelinci.
c.Akhir bulan ketiga, kelinci betina I melahirkan pasangan kelinci kedua, sehingga ada 3 pasang kelinci.
c.Akhir bulan keempat, kelinci betina I melahirkan sepasang anak baru dan kelinci betina II melahirkan sepasang anak kelinci, sehingga ada 5 pasang kelinci.
Akan diperoleh jawaban: 55 pasang kelinci. Bagaimana bila proses itu terus berlangsung seratus tahun? Hasilnya (contek saja): 354.224.848.179.261.915.075. Apakah ada cara cepat untuk menghitungnya? Di sini Fibonacci memberikan rumus bilangan yang kemudian dikenal dengan nama deret Fibonacci.
Terdapat perselisihan tentang apakah objek-objek matematika hadir secara objektif di alam menurut kemurnian logikanya, atau apakah objek-objek itu buatan manusia dan terpisah dari kenyataan. Seorang matematikawan benjamin Peirce menyebut matematika sebagai "ilmu yang menggambarkan simpulan-simpulan yang penting". Albert Einstein, di pihak lain, menyatakan bahwa "sejauh hukum-hukum matematika merujuk kepada kenyataan, mereka tidaklah pasti; dan sejauh mereka pasti, mereka tidak merujuk kepada kenyataan.
Minggu, 12 Juni 2011
Timeline of mathematics
A.TEOREMA PHYTAGORAS
Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.
Ada dua bukti kontemporer yang bisa dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras: satu dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200 SM), satunya lagi dalam buku Elemen Euklides.
600 SM - Vedic " Sulba Sutra "(" rule of akord "dalam bahasa Sansekerta ) menggunakan Tripel Pythagoras , mengandung sejumlah bukti geometri, dan perkiraan π jam 3.16.
895 - Qurra bin Thabit : fragmen yang masih hidup hanya dari karya aslinya berisi bab tentang solusi dan sifat persamaan kubik . Dia juga menggeneralisasikan teorema Pythagoras , dan menemukan teorema dimana pasangan nomor damai dapat ditemukan, (yaitu, dua angka sehingga masing-masingnya adalah jumlah dari pembagi tepat dari yang lain).
Phytagoras sering disebut sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya teori ini ditemukan oleh matematikawan India, Yunani, Babilonia, dan Tionghoa sebelum Phytagoras lahir. Nama Phytagoras didedikasikan karena ialah yang pertama membuktikan teorema ini dengan pembuktian matematis.
Teorema ini berbunyi : Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.
Ilustrasi:
Luas bujur sangkar merah dan biru sama dengan luas bujur sangkar ungu
Di india theorem Pythagoras tertulis didalam naskah sulbasutra yang menyatakan:
‘’Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan oleh sisi vertical dan horisontalnya.’’
Sedang di Babylonia, suku Babylon sangat mengenal theorem Pythagoras, mereka juga mempunyai empat jenis papan yang kesemua papannya berhubungan Pythagoras.
B.HIPERBOLA, PARABOLA, ELIPS, LINGKARAN
260 SM - Archimedes membuktikan bahwa nilai π terletak antara 3 + 1 / 7 (sekitar 3,1429) dan 3 + 10/71 (sekitar 3,1408), bahwa daerah lingkaran sama dengan π dikalikan dengan kuadrat jari-jari lingkaran dan bidang tertutup oleh parabola dan garis lurus 4 / 3 dikalikan dengan luas segitiga dengan dasar yang sama dan tinggi. He also gave a very accurate estimate of the value of the square root of 3. Dia juga memberikan perkiraan yang sangat akurat dari nilai akar kuadrat dari 3. 225 SM - Apollonius dari Perga menulis Pada Bagian Conic dan nama-nama elips , parabola , dan hiperbola. Bolyai , Gauss , dan Lobachevsky menciptakan hiperbolik non-Euclidean geometri. 1882 - Ferdinand von Lindemann membuktikan π yang transendental dan oleh karena itu lingkaran tidak dapat kuadrat dengan kompas dan sejajar,1981 - Mikhail Gromov mengembangkan teori kelompok hiperbolik , merevolusi teori kelompok yang tak terbatas dan geometri diferensial global,
Pada awal abad ke-2, Diocles (Διοκλής ο Αλεξανδρεύς) dalam On Burning Mirrors, terbukti milik fokus parabola dan menunjukkan bagaimana Sun sinar dapat dibuat untuk mencerminkan sebuah titik dengan memutar cermin parabolik (Toomer 1978).
225-210 SM, Apollonius dari Perga (Απολλώνιος ο Περγαίος) (262-190 SM) menulis Conics dibentuk. Dia memperkenalkan mungkin ' pertama istilah parabola ' dan 'hiperbola,' kurva terbentuk ketika pesawat memotong kerucut bagian, dan 'elips,' menutup kurva ketika pesawat berpotongan kerucut. Karyanya yang diberi nama Conics itu mengenalkan istilah-istilah yang sekarang populer seperti: parabola, elips, dan hiperbola. Meskipun sebenarnya Archimedes sudah mencetuskan nama parabola yang artinya bagian sudut kanan kerucut. Apollonius mungkin melanjutkan penamaan Archimedes mengenalkan elips dan hiperbola dalam kaitannya dengan kurva-kurva tersebut. Istilah parabola, elips, dan hiperbola bukanlah penemuan Archimedes maupun Apollonius, mereka mengadaptasi kata dan artinya dari para pengikut Pythagoras (Pythagorean), dalam menyelesaikan persamaan-persamaan kuadratik untuk aplikasi mencari luas. Apollnius menggunakan ketiga istilah tersebut dalam konteks baru yaitu sebagai persamaan parabola dengan verteks pada titik asal (0,0) system Kartesian yaitu y2 = lx dimana l adalah "Latus Rectum" atau parameter sekarang diganti dengan 2p atau bahkan 4p.
Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.
Jenis-jenis irisan kerucut:
*Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola.
*Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola.
*Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun.
Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.
Dalam geometri , elips (dari bahasa Yunani elleipsis ἔλλειψις, sebuah "jatuh pendek") adalah kurva pesawat yang dihasilkan dari persimpangan dari kerucut dengan sebuah pesawat dengan cara yang menghasilkan kurva tertutup. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, diperoleh pada saat pesawat pemotong ortogonal terhadap sumbu kerucut itu. Sebuah elips juga merupakan lokus dari semua titik dari pesawat yang jarak ke dua titik tetap menambah konstan yang sama.
Elips adalah kurva tertutup dan merupakan dibatasi kasus bagian kerucut , kurva yang dihasilkan dari persimpangan dari kerucut melingkar dan sebuah pesawat yang tidak lulus melalui puncak , dua lainnya ( terbuka dan tak terbatas ) kasus adalah parabola dan hiperbola . Elips juga muncul sebagai gambar lingkaran di bawah proyeksi paralel dan kasus-kasus terbatas dari proyeksi perspektif , yang sebenarnya adalah persimpangan dari proyektif kerucut dengan bidang proyeksi. Hal ini juga yang paling sederhana tokoh Lissajous , terbentuk ketika gerakan horisontal dan vertikal yang sinusoid dengan frekuensi yang sama.
C.PARADOX MATEMATIKA
Zeno dari Elea (Ζήνων ο Ελεάτης) mengemukakan empat puluh paradoks mungkin untuk menunjukkan inkonsistensi dalam posisi Pythagoras. Salah satu yang paling terkenal adalah ini: melarikan diri dan runner lambat tidak pernah bisa dikalahkan oleh lebih cepat, pengejar karena lebih cepat harus terlebih dahulu mencapai titik di mana lambat adalah pada waktu itu, tapi pada saat itu lebih lambat akan jauh beberapa depan. paradoks lain membuat atau pantas poin sama, namun, pada kenyataannya, analisis matematis menunjukkan bahwa agregat yang tak terbatas dan sifat kontinum tidak bertentangan diri tetapi hanya bertentangan dengan intuisi.
Kategori ini mengandung paradoks dalam matematika , tetapi tidak termasuk yang informal tentang logika . "Paradox" di sini memiliki arti "hasil unintuitive", bukan "kontradiksi yang nyata". Teori himpunan dihadapkan dengan paradoks Russell dan Teman-program Hilbert dari formalisme dikalahkan oleh 'teorema's' ketidaklengkapan Gödel.
Dasar matematika bangsa babylonia, diturunkan oleh bangsa Yunani yang perkembangannya mulai sekitar tahun 450 SM. Paradoks zeno mengarah pada teori atom oleh Demokritus. Konsep perumusan yang lebih tepat mengarah pada realisasi bahwa bilangan irrasional tidak cukup untuk mengukur semua panjang. Perumusan geometri tentang bilangan irrasional semakin banyak. Pembelajaran tentang area mengarah pada bentuk integrasi.
Sumber: sejarah matematika klasik dan modern
Paradoks russel
A={x/x≠x}
Jika x∈A →x≠x , jika x≠x→x∉A
D.STRUKTUR ALJABAR
Istilah "Boolean" aljabar penghargaan George Boole (1815-1864), seorang berpendidikan Inggris matematika-diri. Dia memperkenalkan sistem aljabar awalnya dalam sebuah pamflet kecil, Analisis Logika Matematika, yang diterbitkan pada tahun 1847 dalam menanggapi sebuah kontroversi publik berlangsung antara Augustus De Morgan dan William Hamilton , dan kemudian sebagai buku yang lebih besar, Hukum Pemikiran , diterbitkan dalam 1854. Formulasi Boole berbeda dari yang dijelaskan di atas dalam beberapa hal penting. Sebagai contoh, konjungsi dan disjungsi di Boole tidak sepasang dual operasi. Aljabar Boolean muncul pada 1860-an, dalam makalah yang ditulis oleh William Jevons dan Charles Sanders Peirce . Presentasi sistematis pertama aljabar Boolean dan kisi distributif adalah berutang kepada Vorlesungen 1890 dari Ernst Schröder . Perlakuan ekstensif pertama aljabar Boolean dalam bahasa Inggris adalah AN Whitehead 's 1898 Universal Aljabar. Aljabar Boolean sebagai struktur aljabar aksiomatis dalam pengertian aksioma modern dimulai dengan kertas 1904 oleh Edward Vermilye Huntington . Aljabar Boolean datang dari umur matematika serius dengan karya Marshall Stone di tahun 1930-an, dan dengan Garrett Birkhoff 's 1940 Kisi Teori. Pada tahun 1960, Paul Cohen , Dana Scott , dan lain-lain menemukan hasil baru jauh di dalam logika matematika dan teori himpunan aksiomatik menggunakan cabang dari aljabar Boolean, yaitu memaksa dan bernilai Boolean model.
250 - Diophantus menggunakan simbol untuk nomor tidak diketahui dalam hal syncopated aljabar , dan menulis Arithmetica , salah satu risalah awal pada aljabar. 820 - Al-Khawarizmi - Persia matematika, ayah dari aljabar, menulis Al-Jabr , kemudian diterjemahkan sebagai Aljabar , yang memperkenalkan teknik sistematis untuk memecahkan aljabar linear dan persamaan kuadrat . 820 - Al-Mahani dikandung ide mengurangi geometri masalah seperti penggandaan kubus masalah dalam aljabar. 1070 - Omar Khayyām mulai menulis Treatise on Demonstrasi Masalah Aljabar dan mengklasifikasikan persamaan kubik.
1130 - Al-Samawal memberikan definisi aljabar: "itu berkaitan] dengan beroperasi di diketahui menggunakan semua aritmatika, alat-alat dalam yang sama sebagai cara beroperasi ahli ilmu hisab pada diketahui. 1135 - Sharafeddin Tusi mengikuti-Khayyam's aplikasi al aljabar dengan geometri, dan menulis sebuah risalah pada persamaan kubik yang "merupakan kontribusi penting ke aljabar yang bertujuan untuk mempelajari kurva dengan menggunakan persamaan , sehingga pelantikan awal geometri aljabar . "
abad ke-15 - Nilakantha Somayaji , sebuah sekolah Kerala matematikawan, menulis "Aryabhatiya Bhasya", yang berisi bekerja pada seri ekspansi terbatas, masalah aljabar, dan geometri bola 1799 - Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema dasar aljabar (setiap persamaan polinomial memiliki solusi di antara bilangan kompleks), 1806 - Jean-Robert Argand menerbitkan bukti Teorema dasar aljabar dan diagram Argand ,
1832 - Évariste Galois menyajikan suatu kondisi umum untuk solvabilitas persamaan aljabar , dengan demikian pada dasarnya pendiri kelompok teori dan teori Galois , 1847 - George Boole meresmikan logika simbolik dalam Analisis Matematika Logika, mendefinisikan apa yang sekarang disebut aljabar Boolean , 1831 - Galois menemukan bahwa solusi persamaan aljabar terkait dengan kelompok permutasi.
E.BILANGAN
Bilangan merupakan objek matematika yang digunakan untuk menghitung dan mengukur. Sebuah simbol notasi yang mewakili suatu bilangan disebut angka tetapi dalam penggunaan umum, jumlah kata bisa berarti objek abstrak, simbol, atau kata untuk nomor tersebut. Selain penggunaannya dalam menghitung dan mengukur, angka yang sering digunakan untuk label (nomor telepon), untuk pemesanan (nomor seri), dan untuk kode (misalnya, ISBN). Dalam matematika , definisi nomor telah diperpanjang selama bertahun-tahun untuk menyertakan angka seperti nol , angka negatif , bilangan rasional , bilangan irasional , dan bilangan kompleks.
Bilangan abstrak digunakan untuk menunjukkan jumlah, seperti dalam menghitung atau mengukur. Asal usul bilangan tersebut pada zaman prasejarah yaitu pada periode Paleolitik. Awal bukti fisik dari penggunaan bilangan dikenal manusia pada tahun 30000 SM dan menggunakan bentuk tulang serigala yang ditemukan di Eropa Timur dengan serangkaian takik diukir di dalamnya. Pada 30000 SM – 5000 SM Kami memiliki temuan semacam pengejaran matematika, dari pencatatan jumlah pada tulang, untuk desain geometri awal.
Di babylonia matematika berkembang sejak 2000 tahun SM. Sebelumnya system bilangan berkembang selama beberapa periode dengan bilangan berbasis 60, system ini mampu menampilkan bilangan yang besar dan bilangan pecahan dan terbukti menjadi dasar pengembangan bilangan matematika,dengan orde yang lebih tinggi.
a.Bilangan Rasional
Kemungkinan bahwa konsep angka-angka pecahan tanggal untuk zaman prasejarah . The Mesir Kuno yang digunakan mereka fraksi Mesir notasi untuk bilangan rasional dalam teks-teks matematika seperti Rhind Matematika Papyrus dan Papyrus Kahun . matematikawan Yunani dan India klasik membuat studi tentang teori bilangan rasional, sebagai bagian dari studi umum dari teori bilangan . Yang paling terkenal di antaranya adalah Euclid's Elements , kira-kira 300 SM. Dari teks India, yang paling relevan adalah Sutra Sthananga , yang juga mencakup teori bilangan sebagai bagian dari studi umum matematika.
Sebuah bilangan rasional adalah nomor yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan pembilang integer dan sejumlah nol penyebut alami non. Fraksi ditulis sebagai dua angka, pembilang dan penyebut, dengan bar pemisah antara mereka.
b.Bilangan Real
Bilangan real meliputi semua nomor pengukuran. Bilangan real biasanya ditulis menggunakan angka desimal, di mana titik desimal ditempatkan di sebelah kanan angka dengan nilai satu tempat. Setiap bilangan rasional juga merupakan bilangan real. Yaitu bahwa setiap bilangan real adalah rasional. Jika bilangan real tidak dapat ditulis sebagai sebagian kecil dari dua bilangan bulat, hal itu disebut tidak rasional .
c.Bilangan Komputasi
Pindah ke masalah perhitungan, yaitu bilangan komputasi yang ditentukan dalam himpunan bilangan real. Bilangan komputasi, juga dikenal sebagai bilangan rekursif atau real komputasi, yaitu bilangan real yang dapat dihitung untuk dalam setiap presisi yang diinginkan dalam algoritma. Definisi dapat dengan menggunakan -rekursif fungsi μ , Turing mesin atau λ-kalkulus sebagai representasi formal algoritma. Bilangan komputasi membentuk bidang tertutup yang nyata dan dapat digunakan di tempat bilangan real bagi banyak orang, tetapi tidak semua.
d.Angka
Bilangan harus dibedakan dari angka , simbol-simbol yang digunakan untuk mewakili angka. Boyer menunjukkan bahwa Mesir menciptakan sistem ciphered angka pertama. Yunani diikuti oleh pemetaan menghitung jumlah mereka ke dan Dorie huruf Ionia. Nomor lima dapat diwakili oleh kedua sepuluh angka dasar '5 ', oleh angka romawi '' dan ciphered surat Ⅴ. Notasi yang digunakan untuk mewakili angka-angka tersebut dibahas dalam artikel sistem angka . Sebuah perkembangan penting dalam sejarah angka adalah pengembangan sistem posisional, seperti desimal modern, yang dapat mewakili jumlah yang sangat besar. Angka Romawi memerlukan ekstra simbol untuk nomor lebih besar.
e.Bilangan Negatif
Konsep abstrak angka negatif diakui sedini 100 SM - 50 SM. The China " Sembilan Bab pada Seni Matematika "(Cina : Jiu-zhang Suanshu) berisi metode untuk menemukan bidang gambar; batang merah digunakan untuk menunjukkan koefisien positif , hitam untuk negatif. Ini adalah penyebutan awal dikenal angka negatif di Timur; referensi pertama dalam sebuah karya Barat berada di abad ke-3 di Yunani . Selama 600s, angka negatif digunakan di India untuk mewakili utang. sebelumnya referensi 'Diophantus dibicarakan secara lebih eksplisit oleh matematikawan India Brahmagupta , dalam Brahma-Sphuta-Siddhanta , yang menggunakan angka negatif 628 untuk menghasilkan bentuk umum rumus kuadrat yang masih digunakan sampai sekarang. Namun, pada abad ke-12 di India, Bhaskara memberikan akar negatif untuk persamaan kuadrat tetapi mengatakan nilai negatif "dalam hal ini tidak diambil, karena tidak memadai, orang tidak menyetujui akar negatif."
Matematikawan Eropa sebagian besar menolak konsep angka negatif sampai abad ke-17, meskipun Fibonacci diperbolehkan solusi negatif dalam masalah keuangan di mana mereka dapat diartikan sebagai hutang (pasal 13 dari Abaci , 1202) dan kemudian sebagai kerugian (dalam Flos ). Pada saat yang sama, Cina menunjukkan angka negatif baik dengan menggambar stroke diagonal melalui kanan paling nol angka yang sesuai's angka positif angka itu. Penggunaan pertama angka negatif dalam karya Eropa adalah dengan Chuquet selama 15 abad. Dia menggunakan mereka sebagai eksponen , tapi menyebut mereka sebagai "nomor tidak masuk akal".
Seperti baru-baru ini sebagai abad ke-18, itu adalah praktek umum untuk mengabaikan apapun hasil negatif yang dikembalikan oleh persamaan pada asumsi bahwa mereka berarti, seperti Rene Descartes lakukan dengan solusi negatif dalam sistem koordinat Cartesian .
f.Bilangan Irrasional
Penggunaan awal dikenal bilangan irasional berada di India Sulba Sutra terdiri antara 800-500 SM. The bukti-bukti keberadaan bilangan irasional pertama biasanya dihubungkan dengan Pythagoras , lebih khusus kepada Pythagoras Hippasus dari Metapontum , yang menghasilkan (paling mungkin geometri) bukti irasionalitas dari akar kuadrat dari 2 . Cerita berlanjut bahwa Hippasus menemukan bilangan irasional ketika mencoba untuk mewakili akar kuadrat dari 2 sebagai pecahan. Namun Pythagoras percaya pada kemutlakan angka, dan tidak bisa menerima keberadaan bilangan irasional. Dia tidak bisa menyangkal keberadaan mereka melalui logika, tetapi ia tidak bisa menerima bilangan irasional, sehingga ia dihukum mati Hippasus karena tenggelam.
Abad keenam belas membawa Eropa akhir penerimaa integral negatif dan angka pecahan. Pada abad ketujuh belas, matematikawan umumnya digunakan pecahan desimal dengan notasi modern. Ini bukan, bagaimanapun, sampai abad kesembilan belas yang matematikawan irrationals dipisahkan menjadi bagian-bagian aljabar dan transendental, dan sekali lagi melakukan studi ilmiah tentang irrationals. Hal itu tetap hampir berhenti beroperasi sejak Euclid . 1872 membawa publikasi teori-teori Karl Weierstrass (oleh muridnya Kossak ), Heine ( Crelle 's , 74), George Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind . Pada tahun 1869, Méray telah mengambil titik yang sama dari keberangkatan Heine, tetapi teori umumnya mengacu pada tahun 1872. Teman-metode Weierstrass benar-benar ditetapkan oleh Salvatore Pincherle (1880), dan Dedekind telah menerima menonjol tambahan melalui kerja nanti penulis (1888) dan dukungan oleh Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, dan Heine dasar teori mereka pada seri terbatas, sedangkan Dedekind mendirikan tentang gagasan perpotongan (Schnitt) dalam sistem bilangan real , memisahkan semua bilangan rasional ke dalam dua kelompok yang memiliki sifat karakteristik tertentu. Subjek telah menerima kontribusi kemudian di tangan Weierstrass, Kronecker (Crelle 's, 101), dan Méray.
Fraksi Lanjutan, terkait erat dengan bilangan irasional (dan karena Cataldi, 1613), mendapat perhatian dari Euler , dan pada pembukaan abad kesembilan belas membawa kekaguman melalui tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange . Kontribusi penting lainnya telah dibuat oleh Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), dan Gunther (1872). Ramus (1855) pertama menghubungkan subjek dengan penentu , yang dihasilkan, dengan kontribusi berikutnya Heine, Möbius , dan Gunther, dalam teori Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet juga ditambahkan ke dalam teori umum, seperti yang banyak kontributor terhadap aplikasi subjek.
530 SM - Pythagoras studi proposisional geometri dan bergetar string kecapi; kelompoknya juga menemukan irasionalitas dari akar kuadrat dari dua. Pada tahun 425 SM, Theodorus matematikawan dari Cyrene menunjukkan bahwa akar kuadrat adalah irasional. Hal itu telah ditunjukkan sebelumnya, namun tidak diketahui oleh siapa. 150 SM - Jain matematikawan di India menulis "Sutra Sthananga", yang berisi bekerja pada teori angka, operasi aritmatika, geometri , operasi dengan pecahan , persamaan sederhana, persamaan kubik , persamaan quartic, dan permutasi dan kombinasi
g.Bilangan Transendental dan real
Hasil pertama mengenai nomor transendental adalah Lambert 1761 bukti bahwa π tidak dapat rasional, dan juga bahwa n e adalah irasional jika n rasional (kecuali n = 0). (Konstanta e pertama kali sebagaimana dimaksud dalam Napier's 1618 bekerja pada logaritma .) Legendre diperpanjang bukti ini untuk menunjukkan bahwa π bukanlah akar kuadrat dari bilangan rasional. Pencarian untuk akar quintic persamaan derajat yang lebih tinggi dan merupakan pengembangan penting, teorema-Ruffini Abel ( Ruffini 1799, Abel 1824) menunjukkan bahwa mereka tidak bisa diselesaikan oleh radikal (formula hanya melibatkan operasi aritmatika dan akar). Oleh karena itu perlu untuk mempertimbangkan lebih luas bilangan aljabar (semua solusi untuk persamaan polinomial). Galois (1832) persamaan polinomial terkait dengan teori grup menimbulkan bidang teori Galois .
Keberadaan bilangan transendental pertama kali didirikan oleh Liouville (1844, 1851). Hermite terbukti pada tahun 1873 bahwa e adalah transendental dan Lindemann terbukti pada tahun 1882 yang π adalah transendental. Akhirnya menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan real adalah tak terbatas namun himpunan semua bilangan aljabar adalah tak terbatas , sehingga ada jumlah bilangan transendental tak terbatas.
h.Bilangan Kompleks
Referensi sekilas awal ke akar kuadrat dari angka negatif ditemukan oleh Heron matematikawan dari Alexandria pada abad 1 Masehi, ketika ia menganggap volume suara mungkin frustum dari piramida . Mereka menjadi lebih menonjol ketika pada abad ke-16 ditutup formula untuk akar polinomial derajat keempat dan ketiga ditemukan oleh matematikawan Italia seperti Niccolo Fontana Tartaglia dan Gerolamo Cardano . Ia segera menyadari bahwa formula ini, bahkan jika seseorang hanya tertarik pada solusi nyata, kadang-kadang diperlukan manipulasi akar kuadrat dari angka negatif.
1797 - Caspar Wessel asosiasi vektor dengan bilangan kompleks dan operasi bilangan kompleks studi dalam hal geometris, 1799 - Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema dasar aljabar (setiap persamaan polinomial memiliki solusi di antara bilangan kompleks),
F.GEOMETRI EUCLIDES
Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik, terdiri atas 5 postulat, yang dinisbahkan terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklid memberikan 5 postulat:
1.Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus.
2.Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus.
3.Diberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat.
4.Semua sudut di kanan itu kongruen.
5.Postulat paralel. Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di 1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan, kedua garis itu harus bertemu satu sama lain di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi.
Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut, dikenal sebagai aksioma Playfair, yang terjadi di bidang datar: "Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan."
300 SM - Euclid dalam bukunya Elements studi geometri sebagai suatu sistem aksioma , membuktikan ketidakterbatasan dari bilangan prima dan menyajikan algoritma Euclidean , ia menyatakan hukum refleksi di Catoptrics, dan dia membuktikan teorema dasar aritmatika.
1899 - David Hilbert menyajikan satu set yang konsisten geometris aksioma-diri dalam Yayasan Geometri, 390 SM - Theon dari Alexandria (Θέων ο Αλεξανδρεύς) menghasilkan versi Euclid 's Elements (dengan perubahan tekstual dan beberapa tambahan) yang hampir semua edisi berikutnya didasarkan.
G.POSTULAT KELIMA
Dalil ini biasanya disebut "parallel dalil" karena dapat digunakan untuk membuktikan sifat garis sejajar. Euclid mengembangkan teori garis paralel dalam proposisi melalui I.31. Dalil paralel secara historis dalil yang paling menarik. Geometri sepanjang zaman telah berusaha untuk menunjukkan bahwa dapat dibuktikan dari sisa mendalilkan sehingga tidak perlu untuk menganggap itu. Proses coba adalah menganggap dusta, maka berasal kontradiksi. Banyak kesimpulan aneh mengikuti dari menyangkal dalil paralel, dan beberapa geometri menemukan absurditas besar sehingga mereka menyimpulkan bahwa paralel dalil tidak mengikuti dari yang lain.
Namun demikian, absurditas ini jelas tidak kontradiksi. Pada awal abad kesembilan belas, Bolyai, Lobachevsky, dan Gauss menemukan cara-cara menghadapi ini geometri "non-Euclidean" dengan cara analisis dan menerimanya sebagai semacam sah geometri, meskipun sangat berbeda dengan geometri Euclidean. Ini geometri hiperbolik, seperti yang disebut, adalah sama konsisten sebagai geometri Euclid dan memiliki banyak kegunaan.
1733 - Giovanni Gerolamo Saccheri studi geometri apa jadinya jika kelima postulat's Euclid adalah palsu. 1870 - Felix Klein sebuah konstruksi geometri analitik untuk itu geometri Lobachevski sehingga membentuk itu sendiri-konsistensi dan independensi logis dari kelima postulat's Euclid
H.GEOMETRI NON-EUCLIDES
Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbola, geometri eliptik, dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclidean baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel. Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan. Non-euclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris pada permukaan melengkung, misalnya, permukaan bola atau permukaan dalam mangkuk.
Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbola, geometri eliptik, dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut). Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclidean baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel. Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan. Non-euclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris pada permukaan melengkung, misalnya, permukaan bola atau permukaan dalam mangkuk. Konsep-konsep geometri non-Euclidean. Non-Euclidean geometri sistem berbeda dari geometri Euclid dalam bahwa mereka memodifikasi postulat kelima Euclid, yang juga dikenal sebagai postulat paralel. Secara umum, ada dua bentuk (homogen) geometri non-Euclidean, geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri hiperbolik ada garis yang jelas banyak melalui titik tertentu yang tidak akan bersinggungan dengan baris lain yang diberikan. Dalam geometri eliptik tidak ada baris yang tidak akan berpotongan, karena semua yang dimulai terpisah akan berkumpul. Selain itu, geometri eliptik memodifikasi postulat Euclid pertama sehingga dua titik menentukan sedikitnya satu baris. geometri Riemann berurusan dengan geometri yang tidak homogen, yang berarti bahwa dalam arti tertentu tidak semua poin yang sama. Sebagai contoh, perhatikan permukaan yang dibentuk dengan menempelkan salah satu ujung silinder setengah bola. Kemudian titik pada bola lokal mematuhi geometri eliptik, tetapi titik pada silinder secara lokal mematuhi geometri Euclidean. Bernhard Riemann, bangunan pada karya Gauss, menetapkan metode untuk menggambarkan ruang tersebut. Mendasarkan sistem baru pada asumsi-asumsi, masing-masing dibangun dengan aturan sendiri dan postulat. Non-Euclidean geometri dan geometri eliptik tertentu memainkan peran penting dalam teori relativitas dan geometri ruang-waktu.
Konsep diterapkan untuk pesawat non-Euclidean tertentu hanya dapat ditampilkan dalam tiga atau bahkan empat dimensi. Strip Möbius dan botol Klein keduanya adalah obyek satu sisi lengkap, mungkin di pesawat Euclidean. Strip Möbius dapat ditampilkan dalam tiga dimensi, tetapi botol Klein memerlukan empat. Non-Euclidean geometri ruang-waktu. Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa. Alih-alih garis tegak lurus, geometri ruang-waktu menggunakan garis hiperbolik-ortogonal yang menentukan hyperplanes simultanitas. Pondasi dari versi planar ruang-waktu dieksplorasi, menggunakan geometri sintetis, pada tahun 1912 oleh Gilbert N. Lewis dan Edwin B. Wilson di Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507. Lihat referensi bagi kutipan, "Synthetic ruang-waktu", termasuk definisi, aksioma 16, 21 teorema, dan berbagai corollaries oleh Lewis dan Wilson. Selanjutnya, geometri hiperbolik muncul dalam relativitas khusus sebagai berikut: kerangka acuan inersia ditentukan oleh kecepatan, dan diberi unit waktu, kecepatan masing-masing sesuai dengan suatu peristiwa di masa depan dari asal yang posisi pengamat dengan kecepatan setelah unit temporal. Peristiwa-peristiwa ini membentuk masa depan hyperboloid, dasar dari model hyperboloid geometri hiperbolik. Herman Minkowski membuat hubungan ini di atas kertas yang terkenal dari 1908. Sedangkan geometri Euclidean, dinamai Euclid matematikawan Yunani, termasuk beberapa dari matematika tertua, geometri non-Euclidean tidak secara luas diterima sebagai sah hingga abad ke-19. Perdebatan yang akhirnya mengarah pada penemuan geometri non-Euclidean dimulai segera setelah pekerjaan Euclid Elements ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lainnya (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai "Postulat Euclid Kelima," atau sekadar "postulat sejajar", yang dalam perumusan asli Euclid adalah: Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi di mana adalah sudut kurang dari dua sudut kanan.
Matematikawan lain telah menyusun bentuk yang lebih sederhana dari properti ini (lihat paralel postulat untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara konsisten tampaknya lebih rumit daripada postulat Euclid lain (yang meliputi, misalnya, "Antara setiap dua titik garis lurus dapat ditarik"). Setidaknya selama seribu tahun, geometri yang terganggu oleh kompleksitas yang berbeda dari postulat kelima, dan diyakini dapat dibuktikan sebagai teorema dari empat lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti dengan kontradiksi, termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11), [2] matematikawan Persia Omar Khayyām (abad ke-12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan ahli matematika Italia Giovanni Girolamo Saccheri (abad ke-18). Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat, termasuk Lambert segiempat dan Saccheri segiempat, adalah "beberapa teorema pertama dari hiperbolik dan geometri eliptik." Teorema ini bersama dengan postulat alternatif, seperti aksioma Playfair, memainkan peran penting dalam pengembangan selanjutnya dari geometri non-Euclidean. Upaya-upaya awal pada dalil kelima menantang memiliki pengaruh besar terhadap perkembangan di antara geometri kemudian Eropa, termasuk Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis dan Saccheri [3] Semua upaya ini dilakukan pada awal mencoba merumuskan non-Euclidean. Namun geometri memberikan bukti cacat dari postulat paralel, yang berisi asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Ini upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal geometri hiperbolik dan elips. Khayyam, bagaimanapun, mungkin sedikit dari pengecualian. Tidak seperti banyak komentator Euclid sebelum dan sesudah dia (termasuk Saccheri), Khayyam tidak berusaha untuk membuktikan paralel dalil seperti itu tetapi untuk mendapatkan dari setara sebuah postulat ia merumuskan dari "prinsip-prinsip Bertuah" (Aristoteles): "Dua konvergen garis lurus berpotongan dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka berkumpul. "[4] Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah Saccheri segiempat dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah tumpul dan kasus-kasus akut berdasarkan dalil dan karenanya diturunkan dalil klasik Euclid. pengecualian lain mungkin anak al-Tusi's, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai "Pseudo-Tusi"), yang menulis sebuah buku tentang subjek pada tahun 1298, berdasarkan pikiran kemudian al-Tusi, yang disajikan salah satu argumen awal untuk setara hipotesis non-Euclidean ke postulat paralel. "Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti banyak proposisi dari Elemen." Karyanya telah diterbitkan di Roma pada 1594 dan telah dipelajari oleh geometri Eropa, termasuk Saccheri. Vitale Giordano, dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin berjarak sama di pangkalan AB dan CD puncak, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan pada tahun 1733, Saccheri cepat dibuang geometri eliptik sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri elips untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasilnya menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. klaim-Nya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclid dia malah tidak sengaja menemukan geometri yang layak baru. Pada saat ini secara luas percaya bahwa alam semesta bekerja sesuai dengan prinsip-prinsip geometri Euclid. Awal abad ke-19 akan langkah-langkah yang menentukan akhirnya saksi dalam penciptaan geometri non-Euclidean. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hongaria János Bolyai dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut geometri Bolyai-Lobachevskian, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar dari geometri non-Euclidean. Gauss disebutkan untuk ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah mengembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelum, meskipun ia tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan postulat paralel, Bolyai bekerja di luar geometri dimana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada parameter k. Bolyai mengakhiri karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri Euclidean alam semesta fisik atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik. Pada 1840-an, Hermann Grassmann menulis sebuah Ph.D. tesis tentang aljabar abstrak dan aljabar eksterior, dimana ia berpendapat bahwa dimensi dari alam semesta fisik belum tentu tiga, tetapi mungkin tak terbatas.
Pada 1846 ia berasal koordinat dan kalkulus geometri metrik-gratis, cocok untuk kelas ruang termasuk affine dan proyektif spasi. Sayangnya meskipun pekerjaan Grassmann adalah penting untuk beberapa cabang matematika abad ke-20, sangat jauh di depan dari waktu yang teman-temannya tidak mengerti itu. Bernhard Riemann, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, menemukan bidang geometri Riemann, khususnya membahas ide-ide sekarang disebut manifold, metrik Riemann, dan kelengkungan. Dia membangun sebuah keluarga tak terbatas geometri non-Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean. Kadang-kadang ia tidak adil dikreditkan dengan hanya menemukan geometri eliptik, tetapi pada kenyataannya, konstruksi ini menunjukkan bahwa karyanya jauh, dengan teorema nya memegang untuk semua geometri. Pada sebuah bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan bola bukanlah sebuah ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik. Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi ini, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.
1250 - Nasir Al-Din Al-Tusi mencoba mengembangkan bentuk geometri non-Euclidean . Bolyai , Gauss , dan Lobachevsky menciptakan hiperbolik non-Euclidean geometri
I.IRISAN KERUCUT
Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah parabola, elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM. dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut. Jenis-jenis irisan kerucut yaitu,jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator manapun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut. Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong generator mana pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan. Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:
“tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang komstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung F.”
1100 - Omar Khayyām "memberikan klasifikasi lengkap dari persamaan kubik dengan solusi geometris ditemukan dengan cara memotong bagian kerucut . "Ia menjadi yang pertama menemukan umum geometrik solusi dari persamaan kubik dan meletakkan dasar bagi pengembangan geometri analitik dan non-Euclidean geometri . 340 SM- Aristaeus (Αρισταίος ο Κορτωνιάτης) menulis Lima Buku tentang Bagian Conic.
Bagian Conic antara kurva tertua, dan merupakan salah satu subjek matematika tertua dipelajari secara sistematis dan menyeluruh. Para conics tampaknya telah ditemukan oleh Menaechmus (a, Yunani c.375-325 SM), tutor untuk Alexander Agung. Mereka yang dikandung dalam upaya untuk mengatasi tiga masalah konstruksi terkenal trisecting sudut, penggandaan kubus, dan mengkuadratkan lingkaran. (Ini masalah bertahan sampai awal abad 19 ketika ditunjukkan bahwa tidak mungkin untuk menyelesaikannya dengan bantuan hanya straightedge dan kompas a) conics pertama kali didefinisikan sebagai persimpangan:. sebuah kerucut lingkaran tegak dari berbagai sudut simpul, sebuah pesawat tegak lurus terhadap unsur kerucut. Appollonius (c. 262-190 SM) konsolidasi dan diperpanjang hasil sebelumnya conics menjadi Bagian monografi Conic, terdiri dari delapan buku dengan 487 proposisi.
Appollonius adalah yang pertama untuk mendasarkan teori ketiga conics pada bagian satu kerucut lingkaran, kanan atau miring. Dia juga yang memberikan nama elips, parabola, dan hiperbola. Dalam Renaisans, hukum Kepler tentang gerak planet, Descarte dan Fermat koordinat geometri, dan awal geometri proyektif dimulai oleh Desargues, La Hire, Pascal mendorong conics ke tingkat tinggi.
TEORI HIMPUNAN
Sejarah teori himpunan agak berbeda dari sejarah daerah lain sebagian besar matematika. Untuk daerah yang paling proses yang panjang biasanya dapat ditelusuri di mana ide-ide berkembang sampai lampu kilat utama inspirasi, sering oleh sejumlah matematikawan hampir bersamaan, menghasilkan penemuan sangat penting.
Teori himpunan agak berbeda. Ini adalah penciptaan satu orang, Georg Cantor . Sebelum kita mengambil cerita utama dari perkembangan 'teori ini, pertama kita meneliti beberapa kontribusi awal.
Ide infinity telah menjadi subjek pemikiran yang mendalam dari zaman Yunani. Zeno dari Elea , di sekitar 450 SM, dengan masalah di atas yang tak terbatas, membuat kontribusi yang besar awal. Dengan pembahasan Abad Pertengahan yang tak terbatas telah menyebabkan perbandingan set tak terbatas. Misalnya Albert dari Sachsen , di subtilissime Questiones di libros de celo et Mundi, membuktikan bahwa balok panjang tak terbatas memiliki volume yang sama seperti 3-ruang. Ia membuktikan hal ini dengan menggergaji balok menjadi potongan-potongan imajiner yang kemudian merakit ke dalam cangkang konsentris yang berurutan yang mengisi ruang. Bolzano adalah seorang filsuf dan matematikawan kedalaman besar pemikiran. Pada 1847 ia menganggap set dengan definisi berikut
perwujudan dari ide atau konsep yang kita bayangkan ketika kita menganggap susunan komponen sebagai masalah ketidakpedulian.
Bolzano membela konsep sebuah himpunan tak terhingga. Pada saat ini banyak yang percaya bahwa set tak terbatas tidak bisa eksis. Bolzano memberi contoh untuk menunjukkan bahwa, tidak seperti untuk menetapkan terbatas, unsur-unsur dari suatu himpunan tak terhingga bisa dimasukkan ke dalam 1-1 korespondensi dengan unsur-unsur dari salah satu himpunan bagian yang tepat.
Teori himpunan merupakan dasar matematika yang tepat. Sekitar tahun 1867 dan 1871, Cantor menerbitkan sejumlah artikel tentang topik teori bilangan. Suatu kejadian yang sangat penting terjadi sekitar tahun 1872 ketika Cantor melakukan perjalanan ke Swiss. Cantor bertemu Richard Dedekind yang kemudian tumbuh persahabatan di antara mereka. Sekitar tahun 1873-1879, banyak huruf yang diawetkan meskipun hanya sedikit membahas tentang matematika yang dijelaskan Dedekind secara abstrak yang mana mengembangkan ide-ide dari Cantor.
Cantor pindah dari teori bilangan ke karya seri trigonometri. karya ini berisi ide-ide Cantor tentang teori himpunan dan juga tentang bilangan irrasional. Sekitar tahun 1874, Cantor menerbitkan artikel di jurnal Crelle yang mana menandai kelahiran teori himpunan. Karya delanjutnya diserahkan oleh Cantor ke jurnal Crelle pada tahun 1878 tetapi menjadi kontroversi. Kronecker yang berada di redaksi Jurnal Crelle tidak suka dengan karya Cantor, yang mana membuat Cantor ingin menariknya kembali namun Dedekind membujuknya untuk tidak menarik karya tersebut dan Weierstrass mendukung publikasi. Akhirnya karya tersebut diterbitkan, nmaun karya yang selanjutnya tidak diserahkan ke Jurnal Crelle. Orang pertama yang secara eksplisit mencatat bahwa ia menggunakan aksioma seperti itu tampaknya telah Peano pada tahun 1890 dalam berurusan dengan bukti adanya solusi untuk sistem persamaan diferensial. pada tahun 1902 itu disebutkan oleh Beppo Levi tapi yang pertama untuk secara resmi memperkenalkan aksioma Zermelo ketika dia terbukti, pada tahun 1904, yang menetapkan setiap dapat tertata dengan baik. Émile Borel menunjukkan bahwa Aksioma Pilihan ini sebenarnya setara dengan teorema Zermelo.
Paradoks Russell telah menggerogoti seluruh matematika di dunia Frege. Russell mnecoba untuk memperbaiki kerusakan, kemudian dia berupaya meletakkan kembali dalam matematika secara logis dalam Principia Mathematica yang ditulis dengan Whitenead. Karya tersebut sangat berpengaruh dalam usahauntuk mengurangi logika dasar-dasar matematika. Pada tahun 1908, Zermelo yang pertama berupaya mengaksioma teori himpunan. Banyak matematikawan berusaha untuk mengaksioma teori himpunan. Fraenkel, von Neumann, Bernays, dan Gödel adalah tokoh penting dalam perkembangan ini. Gödel menunjukkan keterbatasan dari teori aksiomatik dan tujuan dari banyak matematikawan seperti Frege dan Hilbert tidak akan pernah bisa tercapai.
TEORI GROUP
Ada tiga akar sejarah teori grup : teori persamaan aljabar , teori bilangan dan geometri . Lagrange , Abel , dan Galois para peneliti awal dalam bidang teori grup.Studi awal kelompok-kelompok seperti itu mungkin akan kembali ke pekerjaan Lagrange pada abad ke-18. Namun, karya ini agak terisolasi, dan 1.846 publikasi Cauchy dan Galois lebih sering disebut sebagai awal dari teori grup. Teori ini tidak berkembang dalam ruang hampa, dan sebagainya 3 benang penting dalam sejarah pra-dikembangkan di sini. Salah satu akar mendasar dari teori grup adalah mencari solusi dari persamaan polinomial derajat lebih tinggi dari 4. Sumber pertama muncul dalam masalah membentuk persamaan derajat m m memiliki sebagai akar dari akar dari persamaan tertentu n> m derajat. Untuk kasus sederhana masalah kembali ke Hudde (1659). Saunderson (1740) menyatakan bahwa penentuan faktor kuadratik dari ekspresi bikwadratik harus mengarah ke persamaan sextic, dan Le Sœur (1748) dan Waring (1762 sampai 1782) masih dijabarkan lebih lanjut gagasan tersebut. Fondasi umum bagi teori persamaan dasar dari kelompok permutasi ditemukan oleh matematikawan Lagrange (1770, 1771), dan pada ini dibangun teori substitusi. Ia menemukan bahwa akar dari semua resolvents (résolvantes, réduites) yang dia periksa merupakan fungsi rasional dari akar persamaan masing-masing. Untuk mempelajari sifat-sifat fungsi ini ia menemukan Combinaisons Calcul des. Karya kontemporer Vandermonde (1770) juga mewarnai teori-teori yang akan datang. Ruffini (1799) mencoba bukti ketidakmungkinan memecahkan quintic tinggi persamaan. Ruffini dibedakan apa yang sekarang disebut intransitif dan transitif , dan imprimitive primitif kelompok dan, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan dengan nama l'assieme delle permutazioni. Dia juga mempublikasikan sebuah surat dari Abbati untuk dirinya sendiri, di mana ide kelompok menonjol. Galois usia lima belas, ditarik oleh teman sekelas. Galois menemukan bahwa jika r 1, r 2, ... n r adalah akar n dari suatu persamaan, selalu ada suatu grup permutasi dari r 's seperti itu.
Setiap fungsi dari invariabel akar dengan cara substitusi grup diketahui secara rasional, dan sebaliknya, setiap fungsi rasional ditentukan dari akar adalah invarian bawah substitusi grup. Dalam istilah modern, solvabilitas dari kelompok Galois melekat persamaan menentukan solvabilitas persamaan dengan radikal. Galois juga memberikan kontribusi kepada teori persamaan modular dan bahwa fungsi eliptik . Publikasi pertamanya pada teori grup dibuat pada usia delapan belas (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian sebelum publikasi mengumpulkan kertas pada 1846 (Liouville, Vol. XI). Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang menghubungkan teori grup dan teori medan , dengan teori yang sekarang disebut teori Galois .
Grup mirip dengan kelompok Galois adalah (hari ini) disebut kelompok permutasi , konsep diselidiki secara khusus oleh Cauchy . Sejumlah teorema penting dalam teori grup awal karena Cauchy. Cayley's Pada teori kelompok, karena tergantung pada persamaan simbolik n θ = 1 (1854) memberikan definisi abstrak pertama kelompok terbatas . Grup terkait dengan geometri .Kedua, penggunaan sistematis kelompok dalam geometri, terutama dalam kedok kelompok simetri , diprakarsai oleh Klein 1872 program Erlangen . Studi tentang apa yang sekarang disebut kelompok Lie dimulai secara sistematis pada tahun 1884 dengan Lie Sophus , diikuti dengan karya Membunuh , Studi , Schur , Maurer , dan Cartan . (diskontinyu grup diskrit teori) dibangun oleh Felix Klein , Lie, Poincaré , dan Charles Emile Picard , khususnya sehubungan dengan bentuk modular dan monodromy . Teori grup sebagai subjek mandiri semakin dipopulerkan oleh Serret , yang merelakan bagian VI dari aljabar untuk teori itu; oleh Camille Jordan , yang Traité et des des substitusi persamaan algébriques ( 1870 ) adalah klasik, dan untuk Eugen netto (1882), yang Substitutions Teori dan Aplikasi untuk Aljabar diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Cole (1892). Teoretisi kelompok lain dari abad kesembilan belas adalah Bertrand , Charles Hermite , Frobenius , Leopold Kronecker , dan Mathieu Émile serta Burnside , Dickson , Holder , Moore , Sylow , dan Weber . Konvergensi dari sumber di atas tiga menjadi sebuah teori yang seragam dimulai dengan Yordania Traité dan von Dyck ( 1882 ) yang pertama kali didefinisikan kelompok dalam pengertian modern penuh. Buku pelajaran dari Weber dan Burnside membantu mendirikan teori grup sebagai suatu disiplin. [9] Rumusan kelompok abstrak tidak berlaku bagi sebagian besar teori grup abad ke-19, dan formalisme alternatif diberikan dalam hal aljabar Lie.
Akhir abad ke-19. Grup pada periode 1870-1900 digambarkan sebagai kelompok terus Lie, kelompok terputus, kelompok hingga substitusi akar (bertahap yang disebut permutasi), dan kelompok hingga substitusi linear (biasanya bidang terbatas). Selama periode 1880-1920, kelompok dijelaskan oleh presentasi datang ke dalam kehidupan mereka sendiri melalui karya Arthur Cayley , Walther von Dyck , Dehn , Nielsen , Schreier , dan dilanjutkan pada periode 1920-1940 dengan karya Coxeter , Magnus , dan lain-lain untuk membentuk bidang teori grup kombinatorial . Kelompok Hingga pada periode 1870-1900 melihat seperti menyoroti sebagai teorema Sylow , Pemegang klasifikasi 's dari kelompok-bebas order persegi, dan awal awal teori karakter dari Frobenius. Sudah oleh 1860, kelompok automorphisms dari pesawat proyektif hingga telah dipelajari (oleh Mathieu ), dan pada 1870-an Felix Klein -teori kelompok visi 'geometri sedang direalisasikan dalam bukunya program Erlangen . Kelompok automorphism yang lebih tinggi proyektif dimensi ruang dipelajari oleh Jordan di Traité dan termasuk seri komposisi untuk sebagian besar yang disebut kelompok klasik , meskipun ia menghindari-prime bidang non menghilangkan kelompok kesatuan . Penelitian ini dilanjutkan dengan Moore dan Burnside , dan membawa ke dalam bentuk buku teks komprehensif oleh Leonard Dickson pada tahun 1901. Peran kelompok sederhana yang ditekankan oleh Jordan, dan kriteria untuk non-kesederhanaan dikembangkan oleh pemegang sampai ia mampu mengklasifikasikan kelompok sederhana order kurang dari 200.
Penelitian ini dilanjutkan dengan FN Cole (hingga 660) dan Burnside (hingga 1092), dan akhirnya dalam sebuah "awal milenium" proyek, sampai dengan tahun 2001 oleh Miller dan Ling pada tahun 1900. Kelompok terus menerus pada periode 1870-1900 berkembang pesatMembunuh dan kertas dasar Lie diterbitkan, teorema Hilbert dalam teori, invarian 1882 dll . Awal abad ke-20. Pada periode 1900-1940, tak terbatas "terputus" (sekarang disebut kelompok diskrit ) kelompok memperoleh kehidupan mereka sendiri. Terkenal masalah Burnside diantar dalam studi sub kelompok sewenang-wenang hingga kelompok linier dimensi atas bidang sewenang-wenang, dan memang kelompok sewenang-wenang. kelompok dasar dan kelompok refleksi mendorong perkembangan JA Todd dan Coxeter, seperti -Coxeter algoritma Todd dalam teori grup kombinatorial. aljabar kelompok , yang didefinisikan sebagai solusi dari persamaan polinomial (daripada bertindak pada mereka, seperti pada abad sebelumnya), banyak manfaat dari teori terus menerus Lie. Neumann menghasilkan penelitian mereka tentang jenis kelompok , kelompok yang didefinisikan oleh persamaan teoritis kelompok bukan daripada polinomial. Kelompok terus menerus juga memiliki ledakan pertumbuhan pada periode 1900-1940. Kelompok Topological mulai dipelajari sebagai demikian. Ada banyak prestasi besar dalam kelompok terus menerus: klasifikasi Cartan tentang aljabar Lie semisederhana, Weyl teori tentang representasi kelompok kompak, bekerja Haar dalam kasus lokal kompak. Hingga kelompok dalam 1900-1940 tumbuh sangat. Periode ini menyaksikan kelahiran teori karakter oleh Frobenius, Burnside, dan Schur yang membantu menjawab banyak pertanyaan abad ke-19 dalam kelompok permutasi, dan membuka jalan untuk sepenuhnya teknik baru dalam kelompok hingga abstrak.
Periode ini melihat karya Hall : di generalisasi dari Teorema Sylow untuk set sewenang-wenang dari bilangan prima yang merevolusi studi kelompok larut terbatas, dan di-komutator struktur kekuasaan p-kelompok ,termasuk ide-ide reguler p-kelompok dan isoclinism kelompok , yang merevolusi studi p-kelompok dan merupakan hasil utama pertama di daerah ini sejak Sylow. Periode ini melihat Zassenhaus 's terkenal -Zassenhaus teorema Schur pada keberadaan melengkapi dapat's generalisasi Aula subkelompok Sylow, serta kemajuan pada kelompok Frobenius , dan klasifikasi dekat kelompok Zassenhaus . Pertengahan abad ke-20 . Kedua kedalaman, luas dan juga dampak teori grup kemudian tumbuh. Domain mulai bercabang keluar ke bidang-bidang seperti kelompok aljabar , ekstensi kelompok , dan teori representasi . Dimulai pada 1950-an, dalam upaya kolaborasi yang sangat besar, kelompok teoretikus berhasil mengklasifikasikan semua hingga kelompok sederhana pada tahun 1982. Melengkapi dan menyederhanakan bukti klasifikasi adalah bidang penelitian aktif. Anatoly Maltsev juga membuat kontribusi penting untuk teori grup selama waktu ini, karya awal berada di logika di tahun 1930-an, tetapi di tahun 1940-an dia membuktikan sifat embedding penting dari semigrup menjadi kelompok-kelompok, membahas permasalahan isomorfisma cincin kelompok, mendirikan korespondensi Malçev untuk kelompok polisiklik, dan di tahun 1960-an kembali ke logika membuktikan berbagai teori dalam studi kelompok yang akan diputuskan. Earlier Sebelumnya, Alfred Tarski membuktikan teori grup elementer diputuskan .
Abad 20,Periode 1960-1980 adalah salah satu kegembiraan di banyak bidang teori grup. Dalam kelompok terbatas, ada tonggak independen. Satu memiliki penemuan 22 kelompok sporadis baru, dan penyelesaian generasi pertama dari klasifikasi kelompok sederhana hingga . Satu memiliki gagasan berpengaruh dari subkelompok Carter , dan penciptaan berikutnya teori pembentukan dan teori kelas kelompok. Satu memiliki ekstensi yang luar biasa dari teori Clifford oleh Green pada modul-modul yg tak dpt dibagi dalam aljabar kelompok. Selama era ini, bidang teori grup komputasi menjadi bidang studi yang diakui, karena sebagian sukses luar biasa selama klasifikasi generasi pertama. Dalam kelompok diskrit, metode geometris Tits dan ketersediaan surjectivity dari itu peta Lang diperbolehkan sebuah revolusi dalam kelompok aljabar. Ini masalah Burnside telah kemajuan luar biasa, dengan tandingan lebih baik dibangun di 80-an dan awal 60-an, tetapi sentuhan akhir "untuk semua tapi banyak finitely" yang tidak selesai sampai 90-an. Pekerjaan pada masalah peningkatan minat Burnside aljabar Lie di p eksponen, dan metode Lazard mulai melihat dampak yang lebih luas, terutama dalam studi p-kelompok. kelompok terus menerus memperluas cukup, dengan ADIC analitik pertanyaan-p menjadi penting. Banyak dugaan dilakukan selama ini, termasuk dugaan coclass.
Akhir abad ke-20 .Dua puluh tahun terakhir abad kedua puluh menikmati keberhasilan lebih dari seratus tahun belajar di teori grup. Dalam kelompok terbatas, posting hasil klasifikasi termasuk -Scott teorema O'Nan , klasifikasi Aschbacher, klasifikasi kelompok biak hingga transitif, penentuan subkelompok maksimal kelompok sederhana dan klasifikasi yang sesuai kelompok primitif . Dalam geometri dan kombinatorik terbatas, banyak masalah sekarang bisa diselesaikan. Teori representasi modular memasuki era baru sebagai teknik klasifikasi itu axiomatized, termasuk sistem fusi, Puig teori tentang pasangan dan blok nilpotent.
Teori group larut hingga itu juga berubah oleh buku berpengaruh Doerk-Hawkes yang membawa teori proyektor dan injector ke khalayak yang lebih luas. Dalam kelompok diskrit, beberapa wilayah geometri datang bersama-sama untuk menghasilkan bidang baru yang menarik. Bekerja pada teori simpul , orbifolds , manifold hiperbolik , dan kelompok-kelompok yang bertindak atas pohon (di -Serre teori Bass ), banyak meramaikan studi tentang kelompok hiperbolik , kelompok otomatis . Pertanyaan seperti Thurston 's 1982 geometrization dugaan , terinspirasi sepenuhnya teknik baru dalam teori grup geometrik dan topologi dimensi rendah , dan terlibat dalam larutan salah satu Millenium Prize Masalah , yang dugaan Poincaré . Kelompok terus-menerus melihat solusi dari masalah pendengaran bentuk drum pada tahun 1992 menggunakan kelompok simetri dari operator Laplacian . Teknik secara kontinyu diterapkan pada banyak aspek teori grup menggunakan fungsi ruang-ruang dan kelompok kuantum Banyak masalah abad ke-18 dan ke-19 sekarang ditinjau dalam pengaturan ini lebih umum, dan banyak pertanyaan dalam teori representasi kelompok memiliki jawaban. Teori grup terus menjadi suatu hal yang sangat dipelajari. Arti pentingnya untuk matematika kontemporer secara keseluruhan dapat dilihat dari tahun 2008 Abel Prize , diberikan kepada John Griggs Thompson dan Jacques Tits atas kontribusi mereka teori grup.
J.AKSIOMA MATEMATIKA
Kata aksioma berasal dari Bahasa Yunani αξιωμα (axioma), yang berarti dianggap berharga atau sesuai atau dianggap terbukti dengan sendirinya. Kata ini berasal dari αξιοειν (axioein), yang berarti dianggap berharga, yang kemudian berasal dari αξιος (axios), yang berarti berharga. Di antara banyak filsuf Yunani, suatu aksioma adalah suatu pernyataan yang bisa dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya bukti. Kata aksioma juga dimengerti dalam matematika. Akan tetapi, aksioma dalam matematika bukan berarti proposisi yang terbukti dengan sendirinya. Melainkan, suatu titik awal dari sistem logika. Misalnya, 1+1=2. Nama lain dari aksioma adalah postulat. Suatu aksioma adalah basis dari sistem logika formal yang bersama-sama dengan aturan inferensi mendefinisikan logika.
Aksioma matematika mengalami penurunan panjang dari eyrie kuno. Hampir 24 abad yang lalu itu diadakan untuk menjadi terbukti kebenaran-diri, suatu pernyataan yang benar-benar luar kecurigaan bahwa bisa salah. Hari ini memberitahu non-matematikawan yang aksioma adalah hanya sebuah premis atau aturan dalam permainan, titik awal.
Suatu aksioma membentuk formula yang ditetapkan daripada terbukti begitu melalui penerapan peraturan dari inferensi. Aksioma dan aturan inferensi bersama-sama menyediakan dasar untuk membuktikan semua teorema lainnya. Sebagai set berbeda aksioma dapat menghasilkan himpunan teorema ynag sama, mungkin ada banyak axiomatizations alternatif dari sistem formal. Tidak satupun dari ahli matematika dengan senang hati mengetahui sebenarnya di dalam hatinya atau lebih angkuh tentang aksioma sebagai 'ini' aturan permainan gambar resmi akan memimpin kita semua untuk berpikir. Mereka hanya memilih untuk tidak menghabiskan waktu mereka dalam 'filosofis' argumen dengan non-matematikawan mengenai apakah atau tidak aksioma yang mereka gunakan adalah 'benar.
Dalam matematika, teorema Pythagoras adalah suatu keterkaitan dalam geometri Euklides antara tiga sisi sebuah segitiga siku-siku. Teorema ini dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India (dalam Sulbasutra Baudhayana dan Katyayana), Yunani, Tionghoa dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena ialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.
Ada dua bukti kontemporer yang bisa dianggap sebagai catatan tertua mengenai teorema Pythagoras: satu dapat ditemukan dalam Chou Pei Suan Ching (sekitar 500-200 SM), satunya lagi dalam buku Elemen Euklides.
600 SM - Vedic " Sulba Sutra "(" rule of akord "dalam bahasa Sansekerta ) menggunakan Tripel Pythagoras , mengandung sejumlah bukti geometri, dan perkiraan π jam 3.16.
895 - Qurra bin Thabit : fragmen yang masih hidup hanya dari karya aslinya berisi bab tentang solusi dan sifat persamaan kubik . Dia juga menggeneralisasikan teorema Pythagoras , dan menemukan teorema dimana pasangan nomor damai dapat ditemukan, (yaitu, dua angka sehingga masing-masingnya adalah jumlah dari pembagi tepat dari yang lain).
Phytagoras sering disebut sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya teori ini ditemukan oleh matematikawan India, Yunani, Babilonia, dan Tionghoa sebelum Phytagoras lahir. Nama Phytagoras didedikasikan karena ialah yang pertama membuktikan teorema ini dengan pembuktian matematis.
Teorema ini berbunyi : Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus.
Ilustrasi:
Luas bujur sangkar merah dan biru sama dengan luas bujur sangkar ungu
Di india theorem Pythagoras tertulis didalam naskah sulbasutra yang menyatakan:
‘’Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan oleh sisi vertical dan horisontalnya.’’
Sedang di Babylonia, suku Babylon sangat mengenal theorem Pythagoras, mereka juga mempunyai empat jenis papan yang kesemua papannya berhubungan Pythagoras.
B.HIPERBOLA, PARABOLA, ELIPS, LINGKARAN
260 SM - Archimedes membuktikan bahwa nilai π terletak antara 3 + 1 / 7 (sekitar 3,1429) dan 3 + 10/71 (sekitar 3,1408), bahwa daerah lingkaran sama dengan π dikalikan dengan kuadrat jari-jari lingkaran dan bidang tertutup oleh parabola dan garis lurus 4 / 3 dikalikan dengan luas segitiga dengan dasar yang sama dan tinggi. He also gave a very accurate estimate of the value of the square root of 3. Dia juga memberikan perkiraan yang sangat akurat dari nilai akar kuadrat dari 3. 225 SM - Apollonius dari Perga menulis Pada Bagian Conic dan nama-nama elips , parabola , dan hiperbola. Bolyai , Gauss , dan Lobachevsky menciptakan hiperbolik non-Euclidean geometri. 1882 - Ferdinand von Lindemann membuktikan π yang transendental dan oleh karena itu lingkaran tidak dapat kuadrat dengan kompas dan sejajar,1981 - Mikhail Gromov mengembangkan teori kelompok hiperbolik , merevolusi teori kelompok yang tak terbatas dan geometri diferensial global,
Pada awal abad ke-2, Diocles (Διοκλής ο Αλεξανδρεύς) dalam On Burning Mirrors, terbukti milik fokus parabola dan menunjukkan bagaimana Sun sinar dapat dibuat untuk mencerminkan sebuah titik dengan memutar cermin parabolik (Toomer 1978).
225-210 SM, Apollonius dari Perga (Απολλώνιος ο Περγαίος) (262-190 SM) menulis Conics dibentuk. Dia memperkenalkan mungkin ' pertama istilah parabola ' dan 'hiperbola,' kurva terbentuk ketika pesawat memotong kerucut bagian, dan 'elips,' menutup kurva ketika pesawat berpotongan kerucut. Karyanya yang diberi nama Conics itu mengenalkan istilah-istilah yang sekarang populer seperti: parabola, elips, dan hiperbola. Meskipun sebenarnya Archimedes sudah mencetuskan nama parabola yang artinya bagian sudut kanan kerucut. Apollonius mungkin melanjutkan penamaan Archimedes mengenalkan elips dan hiperbola dalam kaitannya dengan kurva-kurva tersebut. Istilah parabola, elips, dan hiperbola bukanlah penemuan Archimedes maupun Apollonius, mereka mengadaptasi kata dan artinya dari para pengikut Pythagoras (Pythagorean), dalam menyelesaikan persamaan-persamaan kuadratik untuk aplikasi mencari luas. Apollnius menggunakan ketiga istilah tersebut dalam konteks baru yaitu sebagai persamaan parabola dengan verteks pada titik asal (0,0) system Kartesian yaitu y2 = lx dimana l adalah "Latus Rectum" atau parameter sekarang diganti dengan 2p atau bahkan 4p.
Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.
Jenis-jenis irisan kerucut:
*Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola.
*Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola.
*Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun.
Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut.
Dalam geometri , elips (dari bahasa Yunani elleipsis ἔλλειψις, sebuah "jatuh pendek") adalah kurva pesawat yang dihasilkan dari persimpangan dari kerucut dengan sebuah pesawat dengan cara yang menghasilkan kurva tertutup. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, diperoleh pada saat pesawat pemotong ortogonal terhadap sumbu kerucut itu. Sebuah elips juga merupakan lokus dari semua titik dari pesawat yang jarak ke dua titik tetap menambah konstan yang sama.
Elips adalah kurva tertutup dan merupakan dibatasi kasus bagian kerucut , kurva yang dihasilkan dari persimpangan dari kerucut melingkar dan sebuah pesawat yang tidak lulus melalui puncak , dua lainnya ( terbuka dan tak terbatas ) kasus adalah parabola dan hiperbola . Elips juga muncul sebagai gambar lingkaran di bawah proyeksi paralel dan kasus-kasus terbatas dari proyeksi perspektif , yang sebenarnya adalah persimpangan dari proyektif kerucut dengan bidang proyeksi. Hal ini juga yang paling sederhana tokoh Lissajous , terbentuk ketika gerakan horisontal dan vertikal yang sinusoid dengan frekuensi yang sama.
C.PARADOX MATEMATIKA
Zeno dari Elea (Ζήνων ο Ελεάτης) mengemukakan empat puluh paradoks mungkin untuk menunjukkan inkonsistensi dalam posisi Pythagoras. Salah satu yang paling terkenal adalah ini: melarikan diri dan runner lambat tidak pernah bisa dikalahkan oleh lebih cepat, pengejar karena lebih cepat harus terlebih dahulu mencapai titik di mana lambat adalah pada waktu itu, tapi pada saat itu lebih lambat akan jauh beberapa depan. paradoks lain membuat atau pantas poin sama, namun, pada kenyataannya, analisis matematis menunjukkan bahwa agregat yang tak terbatas dan sifat kontinum tidak bertentangan diri tetapi hanya bertentangan dengan intuisi.
Kategori ini mengandung paradoks dalam matematika , tetapi tidak termasuk yang informal tentang logika . "Paradox" di sini memiliki arti "hasil unintuitive", bukan "kontradiksi yang nyata". Teori himpunan dihadapkan dengan paradoks Russell dan Teman-program Hilbert dari formalisme dikalahkan oleh 'teorema's' ketidaklengkapan Gödel.
Dasar matematika bangsa babylonia, diturunkan oleh bangsa Yunani yang perkembangannya mulai sekitar tahun 450 SM. Paradoks zeno mengarah pada teori atom oleh Demokritus. Konsep perumusan yang lebih tepat mengarah pada realisasi bahwa bilangan irrasional tidak cukup untuk mengukur semua panjang. Perumusan geometri tentang bilangan irrasional semakin banyak. Pembelajaran tentang area mengarah pada bentuk integrasi.
Sumber: sejarah matematika klasik dan modern
Paradoks russel
A={x/x≠x}
Jika x∈A →x≠x , jika x≠x→x∉A
D.STRUKTUR ALJABAR
Istilah "Boolean" aljabar penghargaan George Boole (1815-1864), seorang berpendidikan Inggris matematika-diri. Dia memperkenalkan sistem aljabar awalnya dalam sebuah pamflet kecil, Analisis Logika Matematika, yang diterbitkan pada tahun 1847 dalam menanggapi sebuah kontroversi publik berlangsung antara Augustus De Morgan dan William Hamilton , dan kemudian sebagai buku yang lebih besar, Hukum Pemikiran , diterbitkan dalam 1854. Formulasi Boole berbeda dari yang dijelaskan di atas dalam beberapa hal penting. Sebagai contoh, konjungsi dan disjungsi di Boole tidak sepasang dual operasi. Aljabar Boolean muncul pada 1860-an, dalam makalah yang ditulis oleh William Jevons dan Charles Sanders Peirce . Presentasi sistematis pertama aljabar Boolean dan kisi distributif adalah berutang kepada Vorlesungen 1890 dari Ernst Schröder . Perlakuan ekstensif pertama aljabar Boolean dalam bahasa Inggris adalah AN Whitehead 's 1898 Universal Aljabar. Aljabar Boolean sebagai struktur aljabar aksiomatis dalam pengertian aksioma modern dimulai dengan kertas 1904 oleh Edward Vermilye Huntington . Aljabar Boolean datang dari umur matematika serius dengan karya Marshall Stone di tahun 1930-an, dan dengan Garrett Birkhoff 's 1940 Kisi Teori. Pada tahun 1960, Paul Cohen , Dana Scott , dan lain-lain menemukan hasil baru jauh di dalam logika matematika dan teori himpunan aksiomatik menggunakan cabang dari aljabar Boolean, yaitu memaksa dan bernilai Boolean model.
250 - Diophantus menggunakan simbol untuk nomor tidak diketahui dalam hal syncopated aljabar , dan menulis Arithmetica , salah satu risalah awal pada aljabar. 820 - Al-Khawarizmi - Persia matematika, ayah dari aljabar, menulis Al-Jabr , kemudian diterjemahkan sebagai Aljabar , yang memperkenalkan teknik sistematis untuk memecahkan aljabar linear dan persamaan kuadrat . 820 - Al-Mahani dikandung ide mengurangi geometri masalah seperti penggandaan kubus masalah dalam aljabar. 1070 - Omar Khayyām mulai menulis Treatise on Demonstrasi Masalah Aljabar dan mengklasifikasikan persamaan kubik.
1130 - Al-Samawal memberikan definisi aljabar: "itu berkaitan] dengan beroperasi di diketahui menggunakan semua aritmatika, alat-alat dalam yang sama sebagai cara beroperasi ahli ilmu hisab pada diketahui. 1135 - Sharafeddin Tusi mengikuti-Khayyam's aplikasi al aljabar dengan geometri, dan menulis sebuah risalah pada persamaan kubik yang "merupakan kontribusi penting ke aljabar yang bertujuan untuk mempelajari kurva dengan menggunakan persamaan , sehingga pelantikan awal geometri aljabar . "
abad ke-15 - Nilakantha Somayaji , sebuah sekolah Kerala matematikawan, menulis "Aryabhatiya Bhasya", yang berisi bekerja pada seri ekspansi terbatas, masalah aljabar, dan geometri bola 1799 - Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema dasar aljabar (setiap persamaan polinomial memiliki solusi di antara bilangan kompleks), 1806 - Jean-Robert Argand menerbitkan bukti Teorema dasar aljabar dan diagram Argand ,
1832 - Évariste Galois menyajikan suatu kondisi umum untuk solvabilitas persamaan aljabar , dengan demikian pada dasarnya pendiri kelompok teori dan teori Galois , 1847 - George Boole meresmikan logika simbolik dalam Analisis Matematika Logika, mendefinisikan apa yang sekarang disebut aljabar Boolean , 1831 - Galois menemukan bahwa solusi persamaan aljabar terkait dengan kelompok permutasi.
E.BILANGAN
Bilangan merupakan objek matematika yang digunakan untuk menghitung dan mengukur. Sebuah simbol notasi yang mewakili suatu bilangan disebut angka tetapi dalam penggunaan umum, jumlah kata bisa berarti objek abstrak, simbol, atau kata untuk nomor tersebut. Selain penggunaannya dalam menghitung dan mengukur, angka yang sering digunakan untuk label (nomor telepon), untuk pemesanan (nomor seri), dan untuk kode (misalnya, ISBN). Dalam matematika , definisi nomor telah diperpanjang selama bertahun-tahun untuk menyertakan angka seperti nol , angka negatif , bilangan rasional , bilangan irasional , dan bilangan kompleks.
Bilangan abstrak digunakan untuk menunjukkan jumlah, seperti dalam menghitung atau mengukur. Asal usul bilangan tersebut pada zaman prasejarah yaitu pada periode Paleolitik. Awal bukti fisik dari penggunaan bilangan dikenal manusia pada tahun 30000 SM dan menggunakan bentuk tulang serigala yang ditemukan di Eropa Timur dengan serangkaian takik diukir di dalamnya. Pada 30000 SM – 5000 SM Kami memiliki temuan semacam pengejaran matematika, dari pencatatan jumlah pada tulang, untuk desain geometri awal.
Di babylonia matematika berkembang sejak 2000 tahun SM. Sebelumnya system bilangan berkembang selama beberapa periode dengan bilangan berbasis 60, system ini mampu menampilkan bilangan yang besar dan bilangan pecahan dan terbukti menjadi dasar pengembangan bilangan matematika,dengan orde yang lebih tinggi.
a.Bilangan Rasional
Kemungkinan bahwa konsep angka-angka pecahan tanggal untuk zaman prasejarah . The Mesir Kuno yang digunakan mereka fraksi Mesir notasi untuk bilangan rasional dalam teks-teks matematika seperti Rhind Matematika Papyrus dan Papyrus Kahun . matematikawan Yunani dan India klasik membuat studi tentang teori bilangan rasional, sebagai bagian dari studi umum dari teori bilangan . Yang paling terkenal di antaranya adalah Euclid's Elements , kira-kira 300 SM. Dari teks India, yang paling relevan adalah Sutra Sthananga , yang juga mencakup teori bilangan sebagai bagian dari studi umum matematika.
Sebuah bilangan rasional adalah nomor yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan pembilang integer dan sejumlah nol penyebut alami non. Fraksi ditulis sebagai dua angka, pembilang dan penyebut, dengan bar pemisah antara mereka.
b.Bilangan Real
Bilangan real meliputi semua nomor pengukuran. Bilangan real biasanya ditulis menggunakan angka desimal, di mana titik desimal ditempatkan di sebelah kanan angka dengan nilai satu tempat. Setiap bilangan rasional juga merupakan bilangan real. Yaitu bahwa setiap bilangan real adalah rasional. Jika bilangan real tidak dapat ditulis sebagai sebagian kecil dari dua bilangan bulat, hal itu disebut tidak rasional .
c.Bilangan Komputasi
Pindah ke masalah perhitungan, yaitu bilangan komputasi yang ditentukan dalam himpunan bilangan real. Bilangan komputasi, juga dikenal sebagai bilangan rekursif atau real komputasi, yaitu bilangan real yang dapat dihitung untuk dalam setiap presisi yang diinginkan dalam algoritma. Definisi dapat dengan menggunakan -rekursif fungsi μ , Turing mesin atau λ-kalkulus sebagai representasi formal algoritma. Bilangan komputasi membentuk bidang tertutup yang nyata dan dapat digunakan di tempat bilangan real bagi banyak orang, tetapi tidak semua.
d.Angka
Bilangan harus dibedakan dari angka , simbol-simbol yang digunakan untuk mewakili angka. Boyer menunjukkan bahwa Mesir menciptakan sistem ciphered angka pertama. Yunani diikuti oleh pemetaan menghitung jumlah mereka ke dan Dorie huruf Ionia. Nomor lima dapat diwakili oleh kedua sepuluh angka dasar '5 ', oleh angka romawi '' dan ciphered surat Ⅴ. Notasi yang digunakan untuk mewakili angka-angka tersebut dibahas dalam artikel sistem angka . Sebuah perkembangan penting dalam sejarah angka adalah pengembangan sistem posisional, seperti desimal modern, yang dapat mewakili jumlah yang sangat besar. Angka Romawi memerlukan ekstra simbol untuk nomor lebih besar.
e.Bilangan Negatif
Konsep abstrak angka negatif diakui sedini 100 SM - 50 SM. The China " Sembilan Bab pada Seni Matematika "(Cina : Jiu-zhang Suanshu) berisi metode untuk menemukan bidang gambar; batang merah digunakan untuk menunjukkan koefisien positif , hitam untuk negatif. Ini adalah penyebutan awal dikenal angka negatif di Timur; referensi pertama dalam sebuah karya Barat berada di abad ke-3 di Yunani . Selama 600s, angka negatif digunakan di India untuk mewakili utang. sebelumnya referensi 'Diophantus dibicarakan secara lebih eksplisit oleh matematikawan India Brahmagupta , dalam Brahma-Sphuta-Siddhanta , yang menggunakan angka negatif 628 untuk menghasilkan bentuk umum rumus kuadrat yang masih digunakan sampai sekarang. Namun, pada abad ke-12 di India, Bhaskara memberikan akar negatif untuk persamaan kuadrat tetapi mengatakan nilai negatif "dalam hal ini tidak diambil, karena tidak memadai, orang tidak menyetujui akar negatif."
Matematikawan Eropa sebagian besar menolak konsep angka negatif sampai abad ke-17, meskipun Fibonacci diperbolehkan solusi negatif dalam masalah keuangan di mana mereka dapat diartikan sebagai hutang (pasal 13 dari Abaci , 1202) dan kemudian sebagai kerugian (dalam Flos ). Pada saat yang sama, Cina menunjukkan angka negatif baik dengan menggambar stroke diagonal melalui kanan paling nol angka yang sesuai's angka positif angka itu. Penggunaan pertama angka negatif dalam karya Eropa adalah dengan Chuquet selama 15 abad. Dia menggunakan mereka sebagai eksponen , tapi menyebut mereka sebagai "nomor tidak masuk akal".
Seperti baru-baru ini sebagai abad ke-18, itu adalah praktek umum untuk mengabaikan apapun hasil negatif yang dikembalikan oleh persamaan pada asumsi bahwa mereka berarti, seperti Rene Descartes lakukan dengan solusi negatif dalam sistem koordinat Cartesian .
f.Bilangan Irrasional
Penggunaan awal dikenal bilangan irasional berada di India Sulba Sutra terdiri antara 800-500 SM. The bukti-bukti keberadaan bilangan irasional pertama biasanya dihubungkan dengan Pythagoras , lebih khusus kepada Pythagoras Hippasus dari Metapontum , yang menghasilkan (paling mungkin geometri) bukti irasionalitas dari akar kuadrat dari 2 . Cerita berlanjut bahwa Hippasus menemukan bilangan irasional ketika mencoba untuk mewakili akar kuadrat dari 2 sebagai pecahan. Namun Pythagoras percaya pada kemutlakan angka, dan tidak bisa menerima keberadaan bilangan irasional. Dia tidak bisa menyangkal keberadaan mereka melalui logika, tetapi ia tidak bisa menerima bilangan irasional, sehingga ia dihukum mati Hippasus karena tenggelam.
Abad keenam belas membawa Eropa akhir penerimaa integral negatif dan angka pecahan. Pada abad ketujuh belas, matematikawan umumnya digunakan pecahan desimal dengan notasi modern. Ini bukan, bagaimanapun, sampai abad kesembilan belas yang matematikawan irrationals dipisahkan menjadi bagian-bagian aljabar dan transendental, dan sekali lagi melakukan studi ilmiah tentang irrationals. Hal itu tetap hampir berhenti beroperasi sejak Euclid . 1872 membawa publikasi teori-teori Karl Weierstrass (oleh muridnya Kossak ), Heine ( Crelle 's , 74), George Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind . Pada tahun 1869, Méray telah mengambil titik yang sama dari keberangkatan Heine, tetapi teori umumnya mengacu pada tahun 1872. Teman-metode Weierstrass benar-benar ditetapkan oleh Salvatore Pincherle (1880), dan Dedekind telah menerima menonjol tambahan melalui kerja nanti penulis (1888) dan dukungan oleh Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, dan Heine dasar teori mereka pada seri terbatas, sedangkan Dedekind mendirikan tentang gagasan perpotongan (Schnitt) dalam sistem bilangan real , memisahkan semua bilangan rasional ke dalam dua kelompok yang memiliki sifat karakteristik tertentu. Subjek telah menerima kontribusi kemudian di tangan Weierstrass, Kronecker (Crelle 's, 101), dan Méray.
Fraksi Lanjutan, terkait erat dengan bilangan irasional (dan karena Cataldi, 1613), mendapat perhatian dari Euler , dan pada pembukaan abad kesembilan belas membawa kekaguman melalui tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange . Kontribusi penting lainnya telah dibuat oleh Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), dan Gunther (1872). Ramus (1855) pertama menghubungkan subjek dengan penentu , yang dihasilkan, dengan kontribusi berikutnya Heine, Möbius , dan Gunther, dalam teori Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet juga ditambahkan ke dalam teori umum, seperti yang banyak kontributor terhadap aplikasi subjek.
530 SM - Pythagoras studi proposisional geometri dan bergetar string kecapi; kelompoknya juga menemukan irasionalitas dari akar kuadrat dari dua. Pada tahun 425 SM, Theodorus matematikawan dari Cyrene menunjukkan bahwa akar kuadrat adalah irasional. Hal itu telah ditunjukkan sebelumnya, namun tidak diketahui oleh siapa. 150 SM - Jain matematikawan di India menulis "Sutra Sthananga", yang berisi bekerja pada teori angka, operasi aritmatika, geometri , operasi dengan pecahan , persamaan sederhana, persamaan kubik , persamaan quartic, dan permutasi dan kombinasi
g.Bilangan Transendental dan real
Hasil pertama mengenai nomor transendental adalah Lambert 1761 bukti bahwa π tidak dapat rasional, dan juga bahwa n e adalah irasional jika n rasional (kecuali n = 0). (Konstanta e pertama kali sebagaimana dimaksud dalam Napier's 1618 bekerja pada logaritma .) Legendre diperpanjang bukti ini untuk menunjukkan bahwa π bukanlah akar kuadrat dari bilangan rasional. Pencarian untuk akar quintic persamaan derajat yang lebih tinggi dan merupakan pengembangan penting, teorema-Ruffini Abel ( Ruffini 1799, Abel 1824) menunjukkan bahwa mereka tidak bisa diselesaikan oleh radikal (formula hanya melibatkan operasi aritmatika dan akar). Oleh karena itu perlu untuk mempertimbangkan lebih luas bilangan aljabar (semua solusi untuk persamaan polinomial). Galois (1832) persamaan polinomial terkait dengan teori grup menimbulkan bidang teori Galois .
Keberadaan bilangan transendental pertama kali didirikan oleh Liouville (1844, 1851). Hermite terbukti pada tahun 1873 bahwa e adalah transendental dan Lindemann terbukti pada tahun 1882 yang π adalah transendental. Akhirnya menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan real adalah tak terbatas namun himpunan semua bilangan aljabar adalah tak terbatas , sehingga ada jumlah bilangan transendental tak terbatas.
h.Bilangan Kompleks
Referensi sekilas awal ke akar kuadrat dari angka negatif ditemukan oleh Heron matematikawan dari Alexandria pada abad 1 Masehi, ketika ia menganggap volume suara mungkin frustum dari piramida . Mereka menjadi lebih menonjol ketika pada abad ke-16 ditutup formula untuk akar polinomial derajat keempat dan ketiga ditemukan oleh matematikawan Italia seperti Niccolo Fontana Tartaglia dan Gerolamo Cardano . Ia segera menyadari bahwa formula ini, bahkan jika seseorang hanya tertarik pada solusi nyata, kadang-kadang diperlukan manipulasi akar kuadrat dari angka negatif.
1797 - Caspar Wessel asosiasi vektor dengan bilangan kompleks dan operasi bilangan kompleks studi dalam hal geometris, 1799 - Carl Friedrich Gauss membuktikan teorema dasar aljabar (setiap persamaan polinomial memiliki solusi di antara bilangan kompleks),
F.GEOMETRI EUCLIDES
Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik, terdiri atas 5 postulat, yang dinisbahkan terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklid memberikan 5 postulat:
1.Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus.
2.Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus.
3.Diberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat.
4.Semua sudut di kanan itu kongruen.
5.Postulat paralel. Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di 1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan, kedua garis itu harus bertemu satu sama lain di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi.
Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut, dikenal sebagai aksioma Playfair, yang terjadi di bidang datar: "Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan."
300 SM - Euclid dalam bukunya Elements studi geometri sebagai suatu sistem aksioma , membuktikan ketidakterbatasan dari bilangan prima dan menyajikan algoritma Euclidean , ia menyatakan hukum refleksi di Catoptrics, dan dia membuktikan teorema dasar aritmatika.
1899 - David Hilbert menyajikan satu set yang konsisten geometris aksioma-diri dalam Yayasan Geometri, 390 SM - Theon dari Alexandria (Θέων ο Αλεξανδρεύς) menghasilkan versi Euclid 's Elements (dengan perubahan tekstual dan beberapa tambahan) yang hampir semua edisi berikutnya didasarkan.
G.POSTULAT KELIMA
Dalil ini biasanya disebut "parallel dalil" karena dapat digunakan untuk membuktikan sifat garis sejajar. Euclid mengembangkan teori garis paralel dalam proposisi melalui I.31. Dalil paralel secara historis dalil yang paling menarik. Geometri sepanjang zaman telah berusaha untuk menunjukkan bahwa dapat dibuktikan dari sisa mendalilkan sehingga tidak perlu untuk menganggap itu. Proses coba adalah menganggap dusta, maka berasal kontradiksi. Banyak kesimpulan aneh mengikuti dari menyangkal dalil paralel, dan beberapa geometri menemukan absurditas besar sehingga mereka menyimpulkan bahwa paralel dalil tidak mengikuti dari yang lain.
Namun demikian, absurditas ini jelas tidak kontradiksi. Pada awal abad kesembilan belas, Bolyai, Lobachevsky, dan Gauss menemukan cara-cara menghadapi ini geometri "non-Euclidean" dengan cara analisis dan menerimanya sebagai semacam sah geometri, meskipun sangat berbeda dengan geometri Euclidean. Ini geometri hiperbolik, seperti yang disebut, adalah sama konsisten sebagai geometri Euclid dan memiliki banyak kegunaan.
1733 - Giovanni Gerolamo Saccheri studi geometri apa jadinya jika kelima postulat's Euclid adalah palsu. 1870 - Felix Klein sebuah konstruksi geometri analitik untuk itu geometri Lobachevski sehingga membentuk itu sendiri-konsistensi dan independensi logis dari kelima postulat's Euclid
H.GEOMETRI NON-EUCLIDES
Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbola, geometri eliptik, dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclidean baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel. Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan. Non-euclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris pada permukaan melengkung, misalnya, permukaan bola atau permukaan dalam mangkuk.
Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbola, geometri eliptik, dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut). Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclidean baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel. Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan. Non-euclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris pada permukaan melengkung, misalnya, permukaan bola atau permukaan dalam mangkuk. Konsep-konsep geometri non-Euclidean. Non-Euclidean geometri sistem berbeda dari geometri Euclid dalam bahwa mereka memodifikasi postulat kelima Euclid, yang juga dikenal sebagai postulat paralel. Secara umum, ada dua bentuk (homogen) geometri non-Euclidean, geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri hiperbolik ada garis yang jelas banyak melalui titik tertentu yang tidak akan bersinggungan dengan baris lain yang diberikan. Dalam geometri eliptik tidak ada baris yang tidak akan berpotongan, karena semua yang dimulai terpisah akan berkumpul. Selain itu, geometri eliptik memodifikasi postulat Euclid pertama sehingga dua titik menentukan sedikitnya satu baris. geometri Riemann berurusan dengan geometri yang tidak homogen, yang berarti bahwa dalam arti tertentu tidak semua poin yang sama. Sebagai contoh, perhatikan permukaan yang dibentuk dengan menempelkan salah satu ujung silinder setengah bola. Kemudian titik pada bola lokal mematuhi geometri eliptik, tetapi titik pada silinder secara lokal mematuhi geometri Euclidean. Bernhard Riemann, bangunan pada karya Gauss, menetapkan metode untuk menggambarkan ruang tersebut. Mendasarkan sistem baru pada asumsi-asumsi, masing-masing dibangun dengan aturan sendiri dan postulat. Non-Euclidean geometri dan geometri eliptik tertentu memainkan peran penting dalam teori relativitas dan geometri ruang-waktu.
Konsep diterapkan untuk pesawat non-Euclidean tertentu hanya dapat ditampilkan dalam tiga atau bahkan empat dimensi. Strip Möbius dan botol Klein keduanya adalah obyek satu sisi lengkap, mungkin di pesawat Euclidean. Strip Möbius dapat ditampilkan dalam tiga dimensi, tetapi botol Klein memerlukan empat. Non-Euclidean geometri ruang-waktu. Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa. Alih-alih garis tegak lurus, geometri ruang-waktu menggunakan garis hiperbolik-ortogonal yang menentukan hyperplanes simultanitas. Pondasi dari versi planar ruang-waktu dieksplorasi, menggunakan geometri sintetis, pada tahun 1912 oleh Gilbert N. Lewis dan Edwin B. Wilson di Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507. Lihat referensi bagi kutipan, "Synthetic ruang-waktu", termasuk definisi, aksioma 16, 21 teorema, dan berbagai corollaries oleh Lewis dan Wilson. Selanjutnya, geometri hiperbolik muncul dalam relativitas khusus sebagai berikut: kerangka acuan inersia ditentukan oleh kecepatan, dan diberi unit waktu, kecepatan masing-masing sesuai dengan suatu peristiwa di masa depan dari asal yang posisi pengamat dengan kecepatan setelah unit temporal. Peristiwa-peristiwa ini membentuk masa depan hyperboloid, dasar dari model hyperboloid geometri hiperbolik. Herman Minkowski membuat hubungan ini di atas kertas yang terkenal dari 1908. Sedangkan geometri Euclidean, dinamai Euclid matematikawan Yunani, termasuk beberapa dari matematika tertua, geometri non-Euclidean tidak secara luas diterima sebagai sah hingga abad ke-19. Perdebatan yang akhirnya mengarah pada penemuan geometri non-Euclidean dimulai segera setelah pekerjaan Euclid Elements ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lainnya (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai "Postulat Euclid Kelima," atau sekadar "postulat sejajar", yang dalam perumusan asli Euclid adalah: Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi di mana adalah sudut kurang dari dua sudut kanan.
Matematikawan lain telah menyusun bentuk yang lebih sederhana dari properti ini (lihat paralel postulat untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara konsisten tampaknya lebih rumit daripada postulat Euclid lain (yang meliputi, misalnya, "Antara setiap dua titik garis lurus dapat ditarik"). Setidaknya selama seribu tahun, geometri yang terganggu oleh kompleksitas yang berbeda dari postulat kelima, dan diyakini dapat dibuktikan sebagai teorema dari empat lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti dengan kontradiksi, termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11), [2] matematikawan Persia Omar Khayyām (abad ke-12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan ahli matematika Italia Giovanni Girolamo Saccheri (abad ke-18). Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat, termasuk Lambert segiempat dan Saccheri segiempat, adalah "beberapa teorema pertama dari hiperbolik dan geometri eliptik." Teorema ini bersama dengan postulat alternatif, seperti aksioma Playfair, memainkan peran penting dalam pengembangan selanjutnya dari geometri non-Euclidean. Upaya-upaya awal pada dalil kelima menantang memiliki pengaruh besar terhadap perkembangan di antara geometri kemudian Eropa, termasuk Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis dan Saccheri [3] Semua upaya ini dilakukan pada awal mencoba merumuskan non-Euclidean. Namun geometri memberikan bukti cacat dari postulat paralel, yang berisi asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Ini upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal geometri hiperbolik dan elips. Khayyam, bagaimanapun, mungkin sedikit dari pengecualian. Tidak seperti banyak komentator Euclid sebelum dan sesudah dia (termasuk Saccheri), Khayyam tidak berusaha untuk membuktikan paralel dalil seperti itu tetapi untuk mendapatkan dari setara sebuah postulat ia merumuskan dari "prinsip-prinsip Bertuah" (Aristoteles): "Dua konvergen garis lurus berpotongan dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka berkumpul. "[4] Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah Saccheri segiempat dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah tumpul dan kasus-kasus akut berdasarkan dalil dan karenanya diturunkan dalil klasik Euclid. pengecualian lain mungkin anak al-Tusi's, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai "Pseudo-Tusi"), yang menulis sebuah buku tentang subjek pada tahun 1298, berdasarkan pikiran kemudian al-Tusi, yang disajikan salah satu argumen awal untuk setara hipotesis non-Euclidean ke postulat paralel. "Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti banyak proposisi dari Elemen." Karyanya telah diterbitkan di Roma pada 1594 dan telah dipelajari oleh geometri Eropa, termasuk Saccheri. Vitale Giordano, dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin berjarak sama di pangkalan AB dan CD puncak, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan pada tahun 1733, Saccheri cepat dibuang geometri eliptik sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri elips untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasilnya menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. klaim-Nya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclid dia malah tidak sengaja menemukan geometri yang layak baru. Pada saat ini secara luas percaya bahwa alam semesta bekerja sesuai dengan prinsip-prinsip geometri Euclid. Awal abad ke-19 akan langkah-langkah yang menentukan akhirnya saksi dalam penciptaan geometri non-Euclidean. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hongaria János Bolyai dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut geometri Bolyai-Lobachevskian, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar dari geometri non-Euclidean. Gauss disebutkan untuk ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah mengembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelum, meskipun ia tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan postulat paralel, Bolyai bekerja di luar geometri dimana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada parameter k. Bolyai mengakhiri karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri Euclidean alam semesta fisik atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik. Pada 1840-an, Hermann Grassmann menulis sebuah Ph.D. tesis tentang aljabar abstrak dan aljabar eksterior, dimana ia berpendapat bahwa dimensi dari alam semesta fisik belum tentu tiga, tetapi mungkin tak terbatas.
Pada 1846 ia berasal koordinat dan kalkulus geometri metrik-gratis, cocok untuk kelas ruang termasuk affine dan proyektif spasi. Sayangnya meskipun pekerjaan Grassmann adalah penting untuk beberapa cabang matematika abad ke-20, sangat jauh di depan dari waktu yang teman-temannya tidak mengerti itu. Bernhard Riemann, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, menemukan bidang geometri Riemann, khususnya membahas ide-ide sekarang disebut manifold, metrik Riemann, dan kelengkungan. Dia membangun sebuah keluarga tak terbatas geometri non-Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean. Kadang-kadang ia tidak adil dikreditkan dengan hanya menemukan geometri eliptik, tetapi pada kenyataannya, konstruksi ini menunjukkan bahwa karyanya jauh, dengan teorema nya memegang untuk semua geometri. Pada sebuah bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan bola bukanlah sebuah ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik. Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi ini, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.
1250 - Nasir Al-Din Al-Tusi mencoba mengembangkan bentuk geometri non-Euclidean . Bolyai , Gauss , dan Lobachevsky menciptakan hiperbolik non-Euclidean geometri
I.IRISAN KERUCUT
Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah parabola, elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM. dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut. Jenis-jenis irisan kerucut yaitu,jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator manapun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut. Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong generator mana pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan. Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:
“tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang komstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung F.”
1100 - Omar Khayyām "memberikan klasifikasi lengkap dari persamaan kubik dengan solusi geometris ditemukan dengan cara memotong bagian kerucut . "Ia menjadi yang pertama menemukan umum geometrik solusi dari persamaan kubik dan meletakkan dasar bagi pengembangan geometri analitik dan non-Euclidean geometri . 340 SM- Aristaeus (Αρισταίος ο Κορτωνιάτης) menulis Lima Buku tentang Bagian Conic.
Bagian Conic antara kurva tertua, dan merupakan salah satu subjek matematika tertua dipelajari secara sistematis dan menyeluruh. Para conics tampaknya telah ditemukan oleh Menaechmus (a, Yunani c.375-325 SM), tutor untuk Alexander Agung. Mereka yang dikandung dalam upaya untuk mengatasi tiga masalah konstruksi terkenal trisecting sudut, penggandaan kubus, dan mengkuadratkan lingkaran. (Ini masalah bertahan sampai awal abad 19 ketika ditunjukkan bahwa tidak mungkin untuk menyelesaikannya dengan bantuan hanya straightedge dan kompas a) conics pertama kali didefinisikan sebagai persimpangan:. sebuah kerucut lingkaran tegak dari berbagai sudut simpul, sebuah pesawat tegak lurus terhadap unsur kerucut. Appollonius (c. 262-190 SM) konsolidasi dan diperpanjang hasil sebelumnya conics menjadi Bagian monografi Conic, terdiri dari delapan buku dengan 487 proposisi.
Appollonius adalah yang pertama untuk mendasarkan teori ketiga conics pada bagian satu kerucut lingkaran, kanan atau miring. Dia juga yang memberikan nama elips, parabola, dan hiperbola. Dalam Renaisans, hukum Kepler tentang gerak planet, Descarte dan Fermat koordinat geometri, dan awal geometri proyektif dimulai oleh Desargues, La Hire, Pascal mendorong conics ke tingkat tinggi.
TEORI HIMPUNAN
Sejarah teori himpunan agak berbeda dari sejarah daerah lain sebagian besar matematika. Untuk daerah yang paling proses yang panjang biasanya dapat ditelusuri di mana ide-ide berkembang sampai lampu kilat utama inspirasi, sering oleh sejumlah matematikawan hampir bersamaan, menghasilkan penemuan sangat penting.
Teori himpunan agak berbeda. Ini adalah penciptaan satu orang, Georg Cantor . Sebelum kita mengambil cerita utama dari perkembangan 'teori ini, pertama kita meneliti beberapa kontribusi awal.
Ide infinity telah menjadi subjek pemikiran yang mendalam dari zaman Yunani. Zeno dari Elea , di sekitar 450 SM, dengan masalah di atas yang tak terbatas, membuat kontribusi yang besar awal. Dengan pembahasan Abad Pertengahan yang tak terbatas telah menyebabkan perbandingan set tak terbatas. Misalnya Albert dari Sachsen , di subtilissime Questiones di libros de celo et Mundi, membuktikan bahwa balok panjang tak terbatas memiliki volume yang sama seperti 3-ruang. Ia membuktikan hal ini dengan menggergaji balok menjadi potongan-potongan imajiner yang kemudian merakit ke dalam cangkang konsentris yang berurutan yang mengisi ruang. Bolzano adalah seorang filsuf dan matematikawan kedalaman besar pemikiran. Pada 1847 ia menganggap set dengan definisi berikut
perwujudan dari ide atau konsep yang kita bayangkan ketika kita menganggap susunan komponen sebagai masalah ketidakpedulian.
Bolzano membela konsep sebuah himpunan tak terhingga. Pada saat ini banyak yang percaya bahwa set tak terbatas tidak bisa eksis. Bolzano memberi contoh untuk menunjukkan bahwa, tidak seperti untuk menetapkan terbatas, unsur-unsur dari suatu himpunan tak terhingga bisa dimasukkan ke dalam 1-1 korespondensi dengan unsur-unsur dari salah satu himpunan bagian yang tepat.
Teori himpunan merupakan dasar matematika yang tepat. Sekitar tahun 1867 dan 1871, Cantor menerbitkan sejumlah artikel tentang topik teori bilangan. Suatu kejadian yang sangat penting terjadi sekitar tahun 1872 ketika Cantor melakukan perjalanan ke Swiss. Cantor bertemu Richard Dedekind yang kemudian tumbuh persahabatan di antara mereka. Sekitar tahun 1873-1879, banyak huruf yang diawetkan meskipun hanya sedikit membahas tentang matematika yang dijelaskan Dedekind secara abstrak yang mana mengembangkan ide-ide dari Cantor.
Cantor pindah dari teori bilangan ke karya seri trigonometri. karya ini berisi ide-ide Cantor tentang teori himpunan dan juga tentang bilangan irrasional. Sekitar tahun 1874, Cantor menerbitkan artikel di jurnal Crelle yang mana menandai kelahiran teori himpunan. Karya delanjutnya diserahkan oleh Cantor ke jurnal Crelle pada tahun 1878 tetapi menjadi kontroversi. Kronecker yang berada di redaksi Jurnal Crelle tidak suka dengan karya Cantor, yang mana membuat Cantor ingin menariknya kembali namun Dedekind membujuknya untuk tidak menarik karya tersebut dan Weierstrass mendukung publikasi. Akhirnya karya tersebut diterbitkan, nmaun karya yang selanjutnya tidak diserahkan ke Jurnal Crelle. Orang pertama yang secara eksplisit mencatat bahwa ia menggunakan aksioma seperti itu tampaknya telah Peano pada tahun 1890 dalam berurusan dengan bukti adanya solusi untuk sistem persamaan diferensial. pada tahun 1902 itu disebutkan oleh Beppo Levi tapi yang pertama untuk secara resmi memperkenalkan aksioma Zermelo ketika dia terbukti, pada tahun 1904, yang menetapkan setiap dapat tertata dengan baik. Émile Borel menunjukkan bahwa Aksioma Pilihan ini sebenarnya setara dengan teorema Zermelo.
Paradoks Russell telah menggerogoti seluruh matematika di dunia Frege. Russell mnecoba untuk memperbaiki kerusakan, kemudian dia berupaya meletakkan kembali dalam matematika secara logis dalam Principia Mathematica yang ditulis dengan Whitenead. Karya tersebut sangat berpengaruh dalam usahauntuk mengurangi logika dasar-dasar matematika. Pada tahun 1908, Zermelo yang pertama berupaya mengaksioma teori himpunan. Banyak matematikawan berusaha untuk mengaksioma teori himpunan. Fraenkel, von Neumann, Bernays, dan Gödel adalah tokoh penting dalam perkembangan ini. Gödel menunjukkan keterbatasan dari teori aksiomatik dan tujuan dari banyak matematikawan seperti Frege dan Hilbert tidak akan pernah bisa tercapai.
TEORI GROUP
Ada tiga akar sejarah teori grup : teori persamaan aljabar , teori bilangan dan geometri . Lagrange , Abel , dan Galois para peneliti awal dalam bidang teori grup.Studi awal kelompok-kelompok seperti itu mungkin akan kembali ke pekerjaan Lagrange pada abad ke-18. Namun, karya ini agak terisolasi, dan 1.846 publikasi Cauchy dan Galois lebih sering disebut sebagai awal dari teori grup. Teori ini tidak berkembang dalam ruang hampa, dan sebagainya 3 benang penting dalam sejarah pra-dikembangkan di sini. Salah satu akar mendasar dari teori grup adalah mencari solusi dari persamaan polinomial derajat lebih tinggi dari 4. Sumber pertama muncul dalam masalah membentuk persamaan derajat m m memiliki sebagai akar dari akar dari persamaan tertentu n> m derajat. Untuk kasus sederhana masalah kembali ke Hudde (1659). Saunderson (1740) menyatakan bahwa penentuan faktor kuadratik dari ekspresi bikwadratik harus mengarah ke persamaan sextic, dan Le Sœur (1748) dan Waring (1762 sampai 1782) masih dijabarkan lebih lanjut gagasan tersebut. Fondasi umum bagi teori persamaan dasar dari kelompok permutasi ditemukan oleh matematikawan Lagrange (1770, 1771), dan pada ini dibangun teori substitusi. Ia menemukan bahwa akar dari semua resolvents (résolvantes, réduites) yang dia periksa merupakan fungsi rasional dari akar persamaan masing-masing. Untuk mempelajari sifat-sifat fungsi ini ia menemukan Combinaisons Calcul des. Karya kontemporer Vandermonde (1770) juga mewarnai teori-teori yang akan datang. Ruffini (1799) mencoba bukti ketidakmungkinan memecahkan quintic tinggi persamaan. Ruffini dibedakan apa yang sekarang disebut intransitif dan transitif , dan imprimitive primitif kelompok dan, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan dengan nama l'assieme delle permutazioni. Dia juga mempublikasikan sebuah surat dari Abbati untuk dirinya sendiri, di mana ide kelompok menonjol. Galois usia lima belas, ditarik oleh teman sekelas. Galois menemukan bahwa jika r 1, r 2, ... n r adalah akar n dari suatu persamaan, selalu ada suatu grup permutasi dari r 's seperti itu.
Setiap fungsi dari invariabel akar dengan cara substitusi grup diketahui secara rasional, dan sebaliknya, setiap fungsi rasional ditentukan dari akar adalah invarian bawah substitusi grup. Dalam istilah modern, solvabilitas dari kelompok Galois melekat persamaan menentukan solvabilitas persamaan dengan radikal. Galois juga memberikan kontribusi kepada teori persamaan modular dan bahwa fungsi eliptik . Publikasi pertamanya pada teori grup dibuat pada usia delapan belas (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian sebelum publikasi mengumpulkan kertas pada 1846 (Liouville, Vol. XI). Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang menghubungkan teori grup dan teori medan , dengan teori yang sekarang disebut teori Galois .
Grup mirip dengan kelompok Galois adalah (hari ini) disebut kelompok permutasi , konsep diselidiki secara khusus oleh Cauchy . Sejumlah teorema penting dalam teori grup awal karena Cauchy. Cayley's Pada teori kelompok, karena tergantung pada persamaan simbolik n θ = 1 (1854) memberikan definisi abstrak pertama kelompok terbatas . Grup terkait dengan geometri .Kedua, penggunaan sistematis kelompok dalam geometri, terutama dalam kedok kelompok simetri , diprakarsai oleh Klein 1872 program Erlangen . Studi tentang apa yang sekarang disebut kelompok Lie dimulai secara sistematis pada tahun 1884 dengan Lie Sophus , diikuti dengan karya Membunuh , Studi , Schur , Maurer , dan Cartan . (diskontinyu grup diskrit teori) dibangun oleh Felix Klein , Lie, Poincaré , dan Charles Emile Picard , khususnya sehubungan dengan bentuk modular dan monodromy . Teori grup sebagai subjek mandiri semakin dipopulerkan oleh Serret , yang merelakan bagian VI dari aljabar untuk teori itu; oleh Camille Jordan , yang Traité et des des substitusi persamaan algébriques ( 1870 ) adalah klasik, dan untuk Eugen netto (1882), yang Substitutions Teori dan Aplikasi untuk Aljabar diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Cole (1892). Teoretisi kelompok lain dari abad kesembilan belas adalah Bertrand , Charles Hermite , Frobenius , Leopold Kronecker , dan Mathieu Émile serta Burnside , Dickson , Holder , Moore , Sylow , dan Weber . Konvergensi dari sumber di atas tiga menjadi sebuah teori yang seragam dimulai dengan Yordania Traité dan von Dyck ( 1882 ) yang pertama kali didefinisikan kelompok dalam pengertian modern penuh. Buku pelajaran dari Weber dan Burnside membantu mendirikan teori grup sebagai suatu disiplin. [9] Rumusan kelompok abstrak tidak berlaku bagi sebagian besar teori grup abad ke-19, dan formalisme alternatif diberikan dalam hal aljabar Lie.
Akhir abad ke-19. Grup pada periode 1870-1900 digambarkan sebagai kelompok terus Lie, kelompok terputus, kelompok hingga substitusi akar (bertahap yang disebut permutasi), dan kelompok hingga substitusi linear (biasanya bidang terbatas). Selama periode 1880-1920, kelompok dijelaskan oleh presentasi datang ke dalam kehidupan mereka sendiri melalui karya Arthur Cayley , Walther von Dyck , Dehn , Nielsen , Schreier , dan dilanjutkan pada periode 1920-1940 dengan karya Coxeter , Magnus , dan lain-lain untuk membentuk bidang teori grup kombinatorial . Kelompok Hingga pada periode 1870-1900 melihat seperti menyoroti sebagai teorema Sylow , Pemegang klasifikasi 's dari kelompok-bebas order persegi, dan awal awal teori karakter dari Frobenius. Sudah oleh 1860, kelompok automorphisms dari pesawat proyektif hingga telah dipelajari (oleh Mathieu ), dan pada 1870-an Felix Klein -teori kelompok visi 'geometri sedang direalisasikan dalam bukunya program Erlangen . Kelompok automorphism yang lebih tinggi proyektif dimensi ruang dipelajari oleh Jordan di Traité dan termasuk seri komposisi untuk sebagian besar yang disebut kelompok klasik , meskipun ia menghindari-prime bidang non menghilangkan kelompok kesatuan . Penelitian ini dilanjutkan dengan Moore dan Burnside , dan membawa ke dalam bentuk buku teks komprehensif oleh Leonard Dickson pada tahun 1901. Peran kelompok sederhana yang ditekankan oleh Jordan, dan kriteria untuk non-kesederhanaan dikembangkan oleh pemegang sampai ia mampu mengklasifikasikan kelompok sederhana order kurang dari 200.
Penelitian ini dilanjutkan dengan FN Cole (hingga 660) dan Burnside (hingga 1092), dan akhirnya dalam sebuah "awal milenium" proyek, sampai dengan tahun 2001 oleh Miller dan Ling pada tahun 1900. Kelompok terus menerus pada periode 1870-1900 berkembang pesatMembunuh dan kertas dasar Lie diterbitkan, teorema Hilbert dalam teori, invarian 1882 dll . Awal abad ke-20. Pada periode 1900-1940, tak terbatas "terputus" (sekarang disebut kelompok diskrit ) kelompok memperoleh kehidupan mereka sendiri. Terkenal masalah Burnside diantar dalam studi sub kelompok sewenang-wenang hingga kelompok linier dimensi atas bidang sewenang-wenang, dan memang kelompok sewenang-wenang. kelompok dasar dan kelompok refleksi mendorong perkembangan JA Todd dan Coxeter, seperti -Coxeter algoritma Todd dalam teori grup kombinatorial. aljabar kelompok , yang didefinisikan sebagai solusi dari persamaan polinomial (daripada bertindak pada mereka, seperti pada abad sebelumnya), banyak manfaat dari teori terus menerus Lie. Neumann menghasilkan penelitian mereka tentang jenis kelompok , kelompok yang didefinisikan oleh persamaan teoritis kelompok bukan daripada polinomial. Kelompok terus menerus juga memiliki ledakan pertumbuhan pada periode 1900-1940. Kelompok Topological mulai dipelajari sebagai demikian. Ada banyak prestasi besar dalam kelompok terus menerus: klasifikasi Cartan tentang aljabar Lie semisederhana, Weyl teori tentang representasi kelompok kompak, bekerja Haar dalam kasus lokal kompak. Hingga kelompok dalam 1900-1940 tumbuh sangat. Periode ini menyaksikan kelahiran teori karakter oleh Frobenius, Burnside, dan Schur yang membantu menjawab banyak pertanyaan abad ke-19 dalam kelompok permutasi, dan membuka jalan untuk sepenuhnya teknik baru dalam kelompok hingga abstrak.
Periode ini melihat karya Hall : di generalisasi dari Teorema Sylow untuk set sewenang-wenang dari bilangan prima yang merevolusi studi kelompok larut terbatas, dan di-komutator struktur kekuasaan p-kelompok ,termasuk ide-ide reguler p-kelompok dan isoclinism kelompok , yang merevolusi studi p-kelompok dan merupakan hasil utama pertama di daerah ini sejak Sylow. Periode ini melihat Zassenhaus 's terkenal -Zassenhaus teorema Schur pada keberadaan melengkapi dapat's generalisasi Aula subkelompok Sylow, serta kemajuan pada kelompok Frobenius , dan klasifikasi dekat kelompok Zassenhaus . Pertengahan abad ke-20 . Kedua kedalaman, luas dan juga dampak teori grup kemudian tumbuh. Domain mulai bercabang keluar ke bidang-bidang seperti kelompok aljabar , ekstensi kelompok , dan teori representasi . Dimulai pada 1950-an, dalam upaya kolaborasi yang sangat besar, kelompok teoretikus berhasil mengklasifikasikan semua hingga kelompok sederhana pada tahun 1982. Melengkapi dan menyederhanakan bukti klasifikasi adalah bidang penelitian aktif. Anatoly Maltsev juga membuat kontribusi penting untuk teori grup selama waktu ini, karya awal berada di logika di tahun 1930-an, tetapi di tahun 1940-an dia membuktikan sifat embedding penting dari semigrup menjadi kelompok-kelompok, membahas permasalahan isomorfisma cincin kelompok, mendirikan korespondensi Malçev untuk kelompok polisiklik, dan di tahun 1960-an kembali ke logika membuktikan berbagai teori dalam studi kelompok yang akan diputuskan. Earlier Sebelumnya, Alfred Tarski membuktikan teori grup elementer diputuskan .
Abad 20,Periode 1960-1980 adalah salah satu kegembiraan di banyak bidang teori grup. Dalam kelompok terbatas, ada tonggak independen. Satu memiliki penemuan 22 kelompok sporadis baru, dan penyelesaian generasi pertama dari klasifikasi kelompok sederhana hingga . Satu memiliki gagasan berpengaruh dari subkelompok Carter , dan penciptaan berikutnya teori pembentukan dan teori kelas kelompok. Satu memiliki ekstensi yang luar biasa dari teori Clifford oleh Green pada modul-modul yg tak dpt dibagi dalam aljabar kelompok. Selama era ini, bidang teori grup komputasi menjadi bidang studi yang diakui, karena sebagian sukses luar biasa selama klasifikasi generasi pertama. Dalam kelompok diskrit, metode geometris Tits dan ketersediaan surjectivity dari itu peta Lang diperbolehkan sebuah revolusi dalam kelompok aljabar. Ini masalah Burnside telah kemajuan luar biasa, dengan tandingan lebih baik dibangun di 80-an dan awal 60-an, tetapi sentuhan akhir "untuk semua tapi banyak finitely" yang tidak selesai sampai 90-an. Pekerjaan pada masalah peningkatan minat Burnside aljabar Lie di p eksponen, dan metode Lazard mulai melihat dampak yang lebih luas, terutama dalam studi p-kelompok. kelompok terus menerus memperluas cukup, dengan ADIC analitik pertanyaan-p menjadi penting. Banyak dugaan dilakukan selama ini, termasuk dugaan coclass.
Akhir abad ke-20 .Dua puluh tahun terakhir abad kedua puluh menikmati keberhasilan lebih dari seratus tahun belajar di teori grup. Dalam kelompok terbatas, posting hasil klasifikasi termasuk -Scott teorema O'Nan , klasifikasi Aschbacher, klasifikasi kelompok biak hingga transitif, penentuan subkelompok maksimal kelompok sederhana dan klasifikasi yang sesuai kelompok primitif . Dalam geometri dan kombinatorik terbatas, banyak masalah sekarang bisa diselesaikan. Teori representasi modular memasuki era baru sebagai teknik klasifikasi itu axiomatized, termasuk sistem fusi, Puig teori tentang pasangan dan blok nilpotent.
Teori group larut hingga itu juga berubah oleh buku berpengaruh Doerk-Hawkes yang membawa teori proyektor dan injector ke khalayak yang lebih luas. Dalam kelompok diskrit, beberapa wilayah geometri datang bersama-sama untuk menghasilkan bidang baru yang menarik. Bekerja pada teori simpul , orbifolds , manifold hiperbolik , dan kelompok-kelompok yang bertindak atas pohon (di -Serre teori Bass ), banyak meramaikan studi tentang kelompok hiperbolik , kelompok otomatis . Pertanyaan seperti Thurston 's 1982 geometrization dugaan , terinspirasi sepenuhnya teknik baru dalam teori grup geometrik dan topologi dimensi rendah , dan terlibat dalam larutan salah satu Millenium Prize Masalah , yang dugaan Poincaré . Kelompok terus-menerus melihat solusi dari masalah pendengaran bentuk drum pada tahun 1992 menggunakan kelompok simetri dari operator Laplacian . Teknik secara kontinyu diterapkan pada banyak aspek teori grup menggunakan fungsi ruang-ruang dan kelompok kuantum Banyak masalah abad ke-18 dan ke-19 sekarang ditinjau dalam pengaturan ini lebih umum, dan banyak pertanyaan dalam teori representasi kelompok memiliki jawaban. Teori grup terus menjadi suatu hal yang sangat dipelajari. Arti pentingnya untuk matematika kontemporer secara keseluruhan dapat dilihat dari tahun 2008 Abel Prize , diberikan kepada John Griggs Thompson dan Jacques Tits atas kontribusi mereka teori grup.
J.AKSIOMA MATEMATIKA
Kata aksioma berasal dari Bahasa Yunani αξιωμα (axioma), yang berarti dianggap berharga atau sesuai atau dianggap terbukti dengan sendirinya. Kata ini berasal dari αξιοειν (axioein), yang berarti dianggap berharga, yang kemudian berasal dari αξιος (axios), yang berarti berharga. Di antara banyak filsuf Yunani, suatu aksioma adalah suatu pernyataan yang bisa dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya bukti. Kata aksioma juga dimengerti dalam matematika. Akan tetapi, aksioma dalam matematika bukan berarti proposisi yang terbukti dengan sendirinya. Melainkan, suatu titik awal dari sistem logika. Misalnya, 1+1=2. Nama lain dari aksioma adalah postulat. Suatu aksioma adalah basis dari sistem logika formal yang bersama-sama dengan aturan inferensi mendefinisikan logika.
Aksioma matematika mengalami penurunan panjang dari eyrie kuno. Hampir 24 abad yang lalu itu diadakan untuk menjadi terbukti kebenaran-diri, suatu pernyataan yang benar-benar luar kecurigaan bahwa bisa salah. Hari ini memberitahu non-matematikawan yang aksioma adalah hanya sebuah premis atau aturan dalam permainan, titik awal.
Suatu aksioma membentuk formula yang ditetapkan daripada terbukti begitu melalui penerapan peraturan dari inferensi. Aksioma dan aturan inferensi bersama-sama menyediakan dasar untuk membuktikan semua teorema lainnya. Sebagai set berbeda aksioma dapat menghasilkan himpunan teorema ynag sama, mungkin ada banyak axiomatizations alternatif dari sistem formal. Tidak satupun dari ahli matematika dengan senang hati mengetahui sebenarnya di dalam hatinya atau lebih angkuh tentang aksioma sebagai 'ini' aturan permainan gambar resmi akan memimpin kita semua untuk berpikir. Mereka hanya memilih untuk tidak menghabiskan waktu mereka dalam 'filosofis' argumen dengan non-matematikawan mengenai apakah atau tidak aksioma yang mereka gunakan adalah 'benar.
Rabu, 08 Juni 2011
SEJARAH BILANGAN
Bilangan adalah objek matematika yang digunakan untuk menghitung dan mengukur. Sebuah simbol notasi yang mewakili suatu bilangan disebut angka tetapi dalam penggunaan umum, jumlah kata bisa berarti objek abstrak, simbol, atau kata untuk nomor tersebut. Selain penggunaannya dalam menghitung dan mengukur, angka yang sering digunakan untuk label (nomor telepon), untuk pemesanan (nomor seri), dan untuk kode (misalnya, ISBN). Dalam matematika , definisi nomor telah diperpanjang selama bertahun-tahun untuk menyertakan angka seperti nol , angka negatif , bilangan rasional , bilangan irasional , dan bilangan kompleks.
a) Bilangan Rasional
Kemungkinan bahwa konsep angka-angka pecahan tanggal untuk zaman prasejarah . The Mesir Kuno yang digunakan mereka fraksi Mesir notasi untuk bilangan rasional dalam teks-teks matematika seperti Rhind Matematika Papyrus dan Papyrus Kahun . matematikawan Yunani dan India klasik membuat studi tentang teori bilangan rasional, sebagai bagian dari studi umum dari teori bilangan . Yang paling terkenal di antaranya adalah Euclid's Elements , kira-kira 300 SM. Dari teks India, yang paling relevan adalah Sutra Sthananga , yang juga mencakup teori bilangan sebagai bagian dari studi umum matematika.
Sebuah bilangan rasional adalah nomor yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan pembilang integer dan sejumlah nol penyebut alami non. Fraksi ditulis sebagai dua angka, pembilang dan penyebut, dengan bar pemisah antara mereka.
b) Bilangan Real
Bilangan real meliputi semua nomor pengukuran. Bilangan real biasanya ditulis menggunakan angka desimal, di mana titik desimal ditempatkan di sebelah kanan angka dengan nilai satu tempat. Setiap bilangan rasional juga merupakan bilangan real. Yaitu bahwa setiap bilangan real adalah rasional. Jika bilangan real tidak dapat ditulis sebagai sebagian kecil dari dua bilangan bulat, hal itu disebut tidak rasional .
c) Bilangan Komputasi
Pindah ke masalah perhitungan, yaitu bilangan komputasi yang ditentukan dalam himpunan bilangan real. Bilangan komputasi, juga dikenal sebagai bilangan rekursif atau real komputasi, yaitu bilangan real yang dapat dihitung untuk dalam setiap presisi yang diinginkan dalam algoritma. Definisi dapat dengan menggunakan -rekursif fungsi μ , Turing mesin atau λ-kalkulus sebagai representasi formal algoritma. Bilangan komputasi membentuk bidang tertutup yang nyata dan dapat digunakan di tempat bilangan real bagi banyak orang, tetapi tidak semua.
d) Angka
Bilangan harus dibedakan dari angka , simbol-simbol yang digunakan untuk mewakili angka. Boyer menunjukkan bahwa Mesir menciptakan sistem ciphered angka pertama. Yunani diikuti oleh pemetaan menghitung jumlah mereka ke dan Dorie huruf Ionia. Nomor lima dapat diwakili oleh kedua sepuluh angka dasar '5 ', oleh angka romawi '' dan ciphered surat Ⅴ. Notasi yang digunakan untuk mewakili angka-angka tersebut dibahas dalam artikel sistem angka . Sebuah perkembangan penting dalam sejarah angka adalah pengembangan sistem posisional, seperti desimal modern, yang dapat mewakili jumlah yang sangat besar. Angka Romawi memerlukan ekstra simbol untuk nomor lebih besar.
e) Bilangan Negatif
Konsep abstrak angka negatif diakui sedini 100 SM - 50 SM. The China " Sembilan Bab pada Seni Matematika "(Cina : Jiu-zhang Suanshu) berisi metode untuk menemukan bidang gambar; batang merah digunakan untuk menunjukkan koefisien positif , hitam untuk negatif. Ini adalah penyebutan awal dikenal angka negatif di Timur; referensi pertama dalam sebuah karya Barat berada di abad ke-3 di Yunani . Selama 600s, angka negatif digunakan di India untuk mewakili utang. sebelumnya referensi 'Diophantus dibicarakan secara lebih eksplisit oleh matematikawan India Brahmagupta , dalam Brahma-Sphuta-Siddhanta , yang menggunakan angka negatif 628 untuk menghasilkan bentuk umum rumus kuadrat yang masih digunakan sampai sekarang. Namun, pada abad ke-12 di India, Bhaskara memberikan akar negatif untuk persamaan kuadrat tetapi mengatakan nilai negatif "dalam hal ini tidak diambil, karena tidak memadai, orang tidak menyetujui akar negatif."
Matematikawan Eropa sebagian besar menolak konsep angka negatif sampai abad ke-17, meskipun Fibonacci diperbolehkan solusi negatif dalam masalah keuangan di mana mereka dapat diartikan sebagai hutang (pasal 13 dari Abaci , 1202) dan kemudian sebagai kerugian (dalam Flos ). Pada saat yang sama, Cina menunjukkan angka negatif baik dengan menggambar stroke diagonal melalui kanan paling nol angka yang sesuai's angka positif angka itu. Penggunaan pertama angka negatif dalam karya Eropa adalah dengan Chuquet selama 15 abad. Dia menggunakan mereka sebagai eksponen , tapi menyebut mereka sebagai "nomor tidak masuk akal".
Seperti baru-baru ini sebagai abad ke-18, itu adalah praktek umum untuk mengabaikan apapun hasil negatif yang dikembalikan oleh persamaan pada asumsi bahwa mereka berarti, seperti Rene Descartes lakukan dengan solusi negatif dalam sistem koordinat Cartesian .
f) Bilangan Irrasional
Penggunaan awal dikenal bilangan irasional berada di India Sulba Sutra terdiri antara 800-500 SM. The bukti-bukti keberadaan bilangan irasional pertama biasanya dihubungkan dengan Pythagoras , lebih khusus kepada Pythagoras Hippasus dari Metapontum , yang menghasilkan (paling mungkin geometri) bukti irasionalitas dari akar kuadrat dari 2 . Cerita berlanjut bahwa Hippasus menemukan bilangan irasional ketika mencoba untuk mewakili akar kuadrat dari 2 sebagai pecahan. Namun Pythagoras percaya pada kemutlakan angka, dan tidak bisa menerima keberadaan bilangan irasional. Dia tidak bisa menyangkal keberadaan mereka melalui logika, tetapi ia tidak bisa menerima bilangan irasional, sehingga ia dihukum mati Hippasus karena tenggelam.
Abad keenam belas membawa Eropa akhir penerimaa integral negatif dan angka pecahan. Pada abad ketujuh belas, matematikawan umumnya digunakan pecahan desimal dengan notasi modern. Ini bukan, bagaimanapun, sampai abad kesembilan belas yang matematikawan irrationals dipisahkan menjadi bagian-bagian aljabar dan transendental, dan sekali lagi melakukan studi ilmiah tentang irrationals. Hal itu tetap hampir berhenti beroperasi sejak Euclid . 1872 membawa publikasi teori-teori Karl Weierstrass (oleh muridnya Kossak ), Heine ( Crelle 's , 74), George Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind . Pada tahun 1869, Méray telah mengambil titik yang sama dari keberangkatan Heine, tetapi teori umumnya mengacu pada tahun 1872. Teman-metode Weierstrass benar-benar ditetapkan oleh Salvatore Pincherle (1880), dan Dedekind telah menerima menonjol tambahan melalui kerja nanti penulis (1888) dan dukungan oleh Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, dan Heine dasar teori mereka pada seri terbatas, sedangkan Dedekind mendirikan tentang gagasan perpotongan (Schnitt) dalam sistem bilangan real , memisahkan semua bilangan rasional ke dalam dua kelompok yang memiliki sifat karakteristik tertentu. Subjek telah menerima kontribusi kemudian di tangan Weierstrass, Kronecker (Crelle 's, 101), dan Méray.
Fraksi Lanjutan, terkait erat dengan bilangan irasional (dan karena Cataldi, 1613), mendapat perhatian dari Euler , dan pada pembukaan abad kesembilan belas membawa kekaguman melalui tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange . Kontribusi penting lainnya telah dibuat oleh Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), dan Gunther (1872). Ramus (1855) pertama menghubungkan subjek dengan penentu , yang dihasilkan, dengan kontribusi berikutnya Heine, Möbius , dan Gunther, dalam teori Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet juga ditambahkan ke dalam teori umum, seperti yang banyak kontributor terhadap aplikasi subjek.
g) Bilangan Transendental dan real
Hasil pertama mengenai nomor transendental adalah Lambert 1761 bukti bahwa π tidak dapat rasional, dan juga bahwa n e adalah irasional jika n rasional (kecuali n = 0). (Konstanta e pertama kali sebagaimana dimaksud dalam Napier's 1618 bekerja pada logaritma .) Legendre diperpanjang bukti ini untuk menunjukkan bahwa π bukanlah akar kuadrat dari bilangan rasional. Pencarian untuk akar quintic persamaan derajat yang lebih tinggi dan merupakan pengembangan penting, teorema-Ruffini Abel ( Ruffini 1799, Abel 1824) menunjukkan bahwa mereka tidak bisa diselesaikan oleh radikal (formula hanya melibatkan operasi aritmatika dan akar). Oleh karena itu perlu untuk mempertimbangkan lebih luas bilangan aljabar (semua solusi untuk persamaan polinomial). Galois (1832) persamaan polinomial terkait dengan teori grup menimbulkan bidang teori Galois .
Keberadaan bilangan transendental pertama kali didirikan oleh Liouville (1844, 1851). Hermite terbukti pada tahun 1873 bahwa e adalah transendental dan Lindemann terbukti pada tahun 1882 yang π adalah transendental. Akhirnya menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan real adalah tak terbatas namun himpunan semua bilangan aljabar adalah tak terbatas , sehingga ada jumlah bilangan transendental tak terbatas.
h) Bilangan Kompleks
Referensi sekilas awal ke akar kuadrat dari angka negatif ditemukan oleh Heron matematikawan dari Alexandria pada abad 1 Masehi, ketika ia menganggap volume suara mungkin frustum dari piramida . Mereka menjadi lebih menonjol ketika pada abad ke-16 ditutup formula untuk akar polinomial derajat keempat dan ketiga ditemukan oleh matematikawan Italia seperti Niccolo Fontana Tartaglia dan Gerolamo Cardano . Ia segera menyadari bahwa formula ini, bahkan jika seseorang hanya tertarik pada solusi nyata, kadang-kadang diperlukan manipulasi akar kuadrat dari angka negatif.
a) Bilangan Rasional
Kemungkinan bahwa konsep angka-angka pecahan tanggal untuk zaman prasejarah . The Mesir Kuno yang digunakan mereka fraksi Mesir notasi untuk bilangan rasional dalam teks-teks matematika seperti Rhind Matematika Papyrus dan Papyrus Kahun . matematikawan Yunani dan India klasik membuat studi tentang teori bilangan rasional, sebagai bagian dari studi umum dari teori bilangan . Yang paling terkenal di antaranya adalah Euclid's Elements , kira-kira 300 SM. Dari teks India, yang paling relevan adalah Sutra Sthananga , yang juga mencakup teori bilangan sebagai bagian dari studi umum matematika.
Sebuah bilangan rasional adalah nomor yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan pembilang integer dan sejumlah nol penyebut alami non. Fraksi ditulis sebagai dua angka, pembilang dan penyebut, dengan bar pemisah antara mereka.
b) Bilangan Real
Bilangan real meliputi semua nomor pengukuran. Bilangan real biasanya ditulis menggunakan angka desimal, di mana titik desimal ditempatkan di sebelah kanan angka dengan nilai satu tempat. Setiap bilangan rasional juga merupakan bilangan real. Yaitu bahwa setiap bilangan real adalah rasional. Jika bilangan real tidak dapat ditulis sebagai sebagian kecil dari dua bilangan bulat, hal itu disebut tidak rasional .
c) Bilangan Komputasi
Pindah ke masalah perhitungan, yaitu bilangan komputasi yang ditentukan dalam himpunan bilangan real. Bilangan komputasi, juga dikenal sebagai bilangan rekursif atau real komputasi, yaitu bilangan real yang dapat dihitung untuk dalam setiap presisi yang diinginkan dalam algoritma. Definisi dapat dengan menggunakan -rekursif fungsi μ , Turing mesin atau λ-kalkulus sebagai representasi formal algoritma. Bilangan komputasi membentuk bidang tertutup yang nyata dan dapat digunakan di tempat bilangan real bagi banyak orang, tetapi tidak semua.
d) Angka
Bilangan harus dibedakan dari angka , simbol-simbol yang digunakan untuk mewakili angka. Boyer menunjukkan bahwa Mesir menciptakan sistem ciphered angka pertama. Yunani diikuti oleh pemetaan menghitung jumlah mereka ke dan Dorie huruf Ionia. Nomor lima dapat diwakili oleh kedua sepuluh angka dasar '5 ', oleh angka romawi '' dan ciphered surat Ⅴ. Notasi yang digunakan untuk mewakili angka-angka tersebut dibahas dalam artikel sistem angka . Sebuah perkembangan penting dalam sejarah angka adalah pengembangan sistem posisional, seperti desimal modern, yang dapat mewakili jumlah yang sangat besar. Angka Romawi memerlukan ekstra simbol untuk nomor lebih besar.
e) Bilangan Negatif
Konsep abstrak angka negatif diakui sedini 100 SM - 50 SM. The China " Sembilan Bab pada Seni Matematika "(Cina : Jiu-zhang Suanshu) berisi metode untuk menemukan bidang gambar; batang merah digunakan untuk menunjukkan koefisien positif , hitam untuk negatif. Ini adalah penyebutan awal dikenal angka negatif di Timur; referensi pertama dalam sebuah karya Barat berada di abad ke-3 di Yunani . Selama 600s, angka negatif digunakan di India untuk mewakili utang. sebelumnya referensi 'Diophantus dibicarakan secara lebih eksplisit oleh matematikawan India Brahmagupta , dalam Brahma-Sphuta-Siddhanta , yang menggunakan angka negatif 628 untuk menghasilkan bentuk umum rumus kuadrat yang masih digunakan sampai sekarang. Namun, pada abad ke-12 di India, Bhaskara memberikan akar negatif untuk persamaan kuadrat tetapi mengatakan nilai negatif "dalam hal ini tidak diambil, karena tidak memadai, orang tidak menyetujui akar negatif."
Matematikawan Eropa sebagian besar menolak konsep angka negatif sampai abad ke-17, meskipun Fibonacci diperbolehkan solusi negatif dalam masalah keuangan di mana mereka dapat diartikan sebagai hutang (pasal 13 dari Abaci , 1202) dan kemudian sebagai kerugian (dalam Flos ). Pada saat yang sama, Cina menunjukkan angka negatif baik dengan menggambar stroke diagonal melalui kanan paling nol angka yang sesuai's angka positif angka itu. Penggunaan pertama angka negatif dalam karya Eropa adalah dengan Chuquet selama 15 abad. Dia menggunakan mereka sebagai eksponen , tapi menyebut mereka sebagai "nomor tidak masuk akal".
Seperti baru-baru ini sebagai abad ke-18, itu adalah praktek umum untuk mengabaikan apapun hasil negatif yang dikembalikan oleh persamaan pada asumsi bahwa mereka berarti, seperti Rene Descartes lakukan dengan solusi negatif dalam sistem koordinat Cartesian .
f) Bilangan Irrasional
Penggunaan awal dikenal bilangan irasional berada di India Sulba Sutra terdiri antara 800-500 SM. The bukti-bukti keberadaan bilangan irasional pertama biasanya dihubungkan dengan Pythagoras , lebih khusus kepada Pythagoras Hippasus dari Metapontum , yang menghasilkan (paling mungkin geometri) bukti irasionalitas dari akar kuadrat dari 2 . Cerita berlanjut bahwa Hippasus menemukan bilangan irasional ketika mencoba untuk mewakili akar kuadrat dari 2 sebagai pecahan. Namun Pythagoras percaya pada kemutlakan angka, dan tidak bisa menerima keberadaan bilangan irasional. Dia tidak bisa menyangkal keberadaan mereka melalui logika, tetapi ia tidak bisa menerima bilangan irasional, sehingga ia dihukum mati Hippasus karena tenggelam.
Abad keenam belas membawa Eropa akhir penerimaa integral negatif dan angka pecahan. Pada abad ketujuh belas, matematikawan umumnya digunakan pecahan desimal dengan notasi modern. Ini bukan, bagaimanapun, sampai abad kesembilan belas yang matematikawan irrationals dipisahkan menjadi bagian-bagian aljabar dan transendental, dan sekali lagi melakukan studi ilmiah tentang irrationals. Hal itu tetap hampir berhenti beroperasi sejak Euclid . 1872 membawa publikasi teori-teori Karl Weierstrass (oleh muridnya Kossak ), Heine ( Crelle 's , 74), George Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind . Pada tahun 1869, Méray telah mengambil titik yang sama dari keberangkatan Heine, tetapi teori umumnya mengacu pada tahun 1872. Teman-metode Weierstrass benar-benar ditetapkan oleh Salvatore Pincherle (1880), dan Dedekind telah menerima menonjol tambahan melalui kerja nanti penulis (1888) dan dukungan oleh Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, dan Heine dasar teori mereka pada seri terbatas, sedangkan Dedekind mendirikan tentang gagasan perpotongan (Schnitt) dalam sistem bilangan real , memisahkan semua bilangan rasional ke dalam dua kelompok yang memiliki sifat karakteristik tertentu. Subjek telah menerima kontribusi kemudian di tangan Weierstrass, Kronecker (Crelle 's, 101), dan Méray.
Fraksi Lanjutan, terkait erat dengan bilangan irasional (dan karena Cataldi, 1613), mendapat perhatian dari Euler , dan pada pembukaan abad kesembilan belas membawa kekaguman melalui tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange . Kontribusi penting lainnya telah dibuat oleh Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), dan Gunther (1872). Ramus (1855) pertama menghubungkan subjek dengan penentu , yang dihasilkan, dengan kontribusi berikutnya Heine, Möbius , dan Gunther, dalam teori Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet juga ditambahkan ke dalam teori umum, seperti yang banyak kontributor terhadap aplikasi subjek.
g) Bilangan Transendental dan real
Hasil pertama mengenai nomor transendental adalah Lambert 1761 bukti bahwa π tidak dapat rasional, dan juga bahwa n e adalah irasional jika n rasional (kecuali n = 0). (Konstanta e pertama kali sebagaimana dimaksud dalam Napier's 1618 bekerja pada logaritma .) Legendre diperpanjang bukti ini untuk menunjukkan bahwa π bukanlah akar kuadrat dari bilangan rasional. Pencarian untuk akar quintic persamaan derajat yang lebih tinggi dan merupakan pengembangan penting, teorema-Ruffini Abel ( Ruffini 1799, Abel 1824) menunjukkan bahwa mereka tidak bisa diselesaikan oleh radikal (formula hanya melibatkan operasi aritmatika dan akar). Oleh karena itu perlu untuk mempertimbangkan lebih luas bilangan aljabar (semua solusi untuk persamaan polinomial). Galois (1832) persamaan polinomial terkait dengan teori grup menimbulkan bidang teori Galois .
Keberadaan bilangan transendental pertama kali didirikan oleh Liouville (1844, 1851). Hermite terbukti pada tahun 1873 bahwa e adalah transendental dan Lindemann terbukti pada tahun 1882 yang π adalah transendental. Akhirnya menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan real adalah tak terbatas namun himpunan semua bilangan aljabar adalah tak terbatas , sehingga ada jumlah bilangan transendental tak terbatas.
h) Bilangan Kompleks
Referensi sekilas awal ke akar kuadrat dari angka negatif ditemukan oleh Heron matematikawan dari Alexandria pada abad 1 Masehi, ketika ia menganggap volume suara mungkin frustum dari piramida . Mereka menjadi lebih menonjol ketika pada abad ke-16 ditutup formula untuk akar polinomial derajat keempat dan ketiga ditemukan oleh matematikawan Italia seperti Niccolo Fontana Tartaglia dan Gerolamo Cardano . Ia segera menyadari bahwa formula ini, bahkan jika seseorang hanya tertarik pada solusi nyata, kadang-kadang diperlukan manipulasi akar kuadrat dari angka negatif.
IRISAN KERUCUT
Dalam matematika, irisan kerucut adalah lokus dari semua titik yang membentuk kurva dua-dimensi, yang terbentuk oleh irisan sebuah kerucut dengan sebuah bidang. tiga jenis kurva yang dapat terjadi adalah parabola, elips, dan hiperbola. Apollonius dari Perga adalah matematikawan Yunani yang pertama mempelajari irisan kerucut secara sistematik pada awal abad ke-2 SM. dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit yang membentang sampai tak berhingga di kedua arah. sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada kulit kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut. Jenis-jenis irisan kerucut yaitu,jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator manapun. Lingkaran adalah kasus khusus dari elips, yang terbentuk jika bidang pengiris memotong semua generator dan tegak lurus sumbu kerucut. Kasus-kasus degenerasi terjadi jika bidang-bidang pengiris melalui verteks kerucut. Irisan-irisannya dapat berupa titik, garis lurus, dan dua garis lurus yang saling berpotongan. Sebuah titik terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut namun tidak memotong generator mana pun. Kasus ini merupakan elips yang terdegenerasi. Jika bidang pengiris melalui verteks kerucut, dan hanya satu generator, maka yang terjadi adalah sebuah garis lurus, dan merupakan parabola yang terdegenerasi. Sebuah hiperbola terdegenerasi terjadi jika bidang pengiris melalui verteks kerucut dan dua generator sehingga memberikan dua garis lurus yang saling berpotongan. Secara geometri analitis, irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai:
“tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang komstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung F.”
1100 - Omar Khayyām "memberikan klasifikasi lengkap dari persamaan kubik dengan solusi geometris ditemukan dengan cara memotong bagian kerucut . "Ia menjadi yang pertama menemukan umum geometrik solusi dari persamaan kubik dan meletakkan dasar bagi pengembangan geometri analitik dan non-Euclidean geometri . 340 SM- Aristaeus (Αρισταίος ο Κορτωνιάτης) menulis Lima Buku tentang Bagian Conic.
Bagian Conic antara kurva tertua, dan merupakan salah satu subjek matematika tertua dipelajari secara sistematis dan menyeluruh. Para conics tampaknya telah ditemukan oleh Menaechmus (a, Yunani c.375-325 SM), tutor untuk Alexander Agung. Mereka yang dikandung dalam upaya untuk mengatasi tiga masalah konstruksi terkenal trisecting sudut, penggandaan kubus, dan mengkuadratkan lingkaran. (Ini masalah bertahan sampai awal abad 19 ketika ditunjukkan bahwa tidak mungkin untuk menyelesaikannya dengan bantuan hanya straightedge dan kompas a) conics pertama kali didefinisikan sebagai persimpangan:. sebuah kerucut lingkaran tegak dari berbagai sudut simpul, sebuah pesawat tegak lurus terhadap unsur kerucut. Appollonius (c. 262-190 SM) konsolidasi dan diperpanjang hasil sebelumnya conics menjadi Bagian monografi Conic, terdiri dari delapan buku dengan 487 proposisi.
Appollonius adalah yang pertama untuk mendasarkan teori ketiga conics pada bagian satu kerucut lingkaran, kanan atau miring. Dia juga yang memberikan nama elips, parabola, dan hiperbola. Dalam Renaisans, hukum Kepler tentang gerak planet, Descarte dan Fermat koordinat geometri, dan awal geometri proyektif dimulai oleh Desargues, La Hire, Pascal mendorong conics ke tingkat tinggi.
“tempat kedudukan titik-titik pada sebuah bidang, sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang komstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L (disebut direktriks) yang tidak mengandung F.”
1100 - Omar Khayyām "memberikan klasifikasi lengkap dari persamaan kubik dengan solusi geometris ditemukan dengan cara memotong bagian kerucut . "Ia menjadi yang pertama menemukan umum geometrik solusi dari persamaan kubik dan meletakkan dasar bagi pengembangan geometri analitik dan non-Euclidean geometri . 340 SM- Aristaeus (Αρισταίος ο Κορτωνιάτης) menulis Lima Buku tentang Bagian Conic.
Bagian Conic antara kurva tertua, dan merupakan salah satu subjek matematika tertua dipelajari secara sistematis dan menyeluruh. Para conics tampaknya telah ditemukan oleh Menaechmus (a, Yunani c.375-325 SM), tutor untuk Alexander Agung. Mereka yang dikandung dalam upaya untuk mengatasi tiga masalah konstruksi terkenal trisecting sudut, penggandaan kubus, dan mengkuadratkan lingkaran. (Ini masalah bertahan sampai awal abad 19 ketika ditunjukkan bahwa tidak mungkin untuk menyelesaikannya dengan bantuan hanya straightedge dan kompas a) conics pertama kali didefinisikan sebagai persimpangan:. sebuah kerucut lingkaran tegak dari berbagai sudut simpul, sebuah pesawat tegak lurus terhadap unsur kerucut. Appollonius (c. 262-190 SM) konsolidasi dan diperpanjang hasil sebelumnya conics menjadi Bagian monografi Conic, terdiri dari delapan buku dengan 487 proposisi.
Appollonius adalah yang pertama untuk mendasarkan teori ketiga conics pada bagian satu kerucut lingkaran, kanan atau miring. Dia juga yang memberikan nama elips, parabola, dan hiperbola. Dalam Renaisans, hukum Kepler tentang gerak planet, Descarte dan Fermat koordinat geometri, dan awal geometri proyektif dimulai oleh Desargues, La Hire, Pascal mendorong conics ke tingkat tinggi.
GEOMETRI NON EUCLIDES
Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbola, geometri eliptik, dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut).
Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclidean baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel. Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan. Non-euclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris pada permukaan melengkung, misalnya, permukaan bola atau permukaan dalam mangkuk.
Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbola, geometri eliptik, dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut). Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclidean baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel. Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan. Non-euclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris pada permukaan melengkung, misalnya, permukaan bola atau permukaan dalam mangkuk. Konsep-konsep geometri non-Euclidean. Non-Euclidean geometri sistem berbeda dari geometri Euclid dalam bahwa mereka memodifikasi postulat kelima Euclid, yang juga dikenal sebagai postulat paralel. Secara umum, ada dua bentuk (homogen) geometri non-Euclidean, geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri hiperbolik ada garis yang jelas banyak melalui titik tertentu yang tidak akan bersinggungan dengan baris lain yang diberikan. Dalam geometri eliptik tidak ada baris yang tidak akan berpotongan, karena semua yang dimulai terpisah akan berkumpul. Selain itu, geometri eliptik memodifikasi postulat Euclid pertama sehingga dua titik menentukan sedikitnya satu baris. geometri Riemann berurusan dengan geometri yang tidak homogen, yang berarti bahwa dalam arti tertentu tidak semua poin yang sama. Sebagai contoh, perhatikan permukaan yang dibentuk dengan menempelkan salah satu ujung silinder setengah bola. Kemudian titik pada bola lokal mematuhi geometri eliptik, tetapi titik pada silinder secara lokal mematuhi geometri Euclidean. Bernhard Riemann, bangunan pada karya Gauss, menetapkan metode untuk menggambarkan ruang tersebut. Mendasarkan sistem baru pada asumsi-asumsi, masing-masing dibangun dengan aturan sendiri dan postulat. Non-Euclidean geometri dan geometri eliptik tertentu memainkan peran penting dalam teori relativitas dan geometri ruang-waktu.
Konsep diterapkan untuk pesawat non-Euclidean tertentu hanya dapat ditampilkan dalam tiga atau bahkan empat dimensi. Strip Möbius dan botol Klein keduanya adalah obyek satu sisi lengkap, mungkin di pesawat Euclidean. Strip Möbius dapat ditampilkan dalam tiga dimensi, tetapi botol Klein memerlukan empat. Non-Euclidean geometri ruang-waktu. Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa. Alih-alih garis tegak lurus, geometri ruang-waktu menggunakan garis hiperbolik-ortogonal yang menentukan hyperplanes simultanitas. Pondasi dari versi planar ruang-waktu dieksplorasi, menggunakan geometri sintetis, pada tahun 1912 oleh Gilbert N. Lewis dan Edwin B. Wilson di Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507. Lihat referensi bagi kutipan, "Synthetic ruang-waktu", termasuk definisi, aksioma 16, 21 teorema, dan berbagai corollaries oleh Lewis dan Wilson. Selanjutnya, geometri hiperbolik muncul dalam relativitas khusus sebagai berikut: kerangka acuan inersia ditentukan oleh kecepatan, dan diberi unit waktu, kecepatan masing-masing sesuai dengan suatu peristiwa di masa depan dari asal yang posisi pengamat dengan kecepatan setelah unit temporal. Peristiwa-peristiwa ini membentuk masa depan hyperboloid, dasar dari model hyperboloid geometri hiperbolik. Herman Minkowski membuat hubungan ini di atas kertas yang terkenal dari 1908. Sedangkan geometri Euclidean, dinamai Euclid matematikawan Yunani, termasuk beberapa dari matematika tertua, geometri non-Euclidean tidak secara luas diterima sebagai sah hingga abad ke-19. Perdebatan yang akhirnya mengarah pada penemuan geometri non-Euclidean dimulai segera setelah pekerjaan Euclid Elements ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lainnya (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai "Postulat Euclid Kelima," atau sekadar "postulat sejajar", yang dalam perumusan asli Euclid adalah: Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi di mana adalah sudut kurang dari dua sudut kanan.
Matematikawan lain telah menyusun bentuk yang lebih sederhana dari properti ini (lihat paralel postulat untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara konsisten tampaknya lebih rumit daripada postulat Euclid lain (yang meliputi, misalnya, "Antara setiap dua titik garis lurus dapat ditarik"). Setidaknya selama seribu tahun, geometri yang terganggu oleh kompleksitas yang berbeda dari postulat kelima, dan diyakini dapat dibuktikan sebagai teorema dari empat lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti dengan kontradiksi, termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11), [2] matematikawan Persia Omar Khayyām (abad ke-12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan ahli matematika Italia Giovanni Girolamo Saccheri (abad ke-18). Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat, termasuk Lambert segiempat dan Saccheri segiempat, adalah "beberapa teorema pertama dari hiperbolik dan geometri eliptik." Teorema ini bersama dengan postulat alternatif, seperti aksioma Playfair, memainkan peran penting dalam pengembangan selanjutnya dari geometri non-Euclidean. Upaya-upaya awal pada dalil kelima menantang memiliki pengaruh besar terhadap perkembangan di antara geometri kemudian Eropa, termasuk Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis dan Saccheri [3] Semua upaya ini dilakukan pada awal mencoba merumuskan non-Euclidean. Namun geometri memberikan bukti cacat dari postulat paralel, yang berisi asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Ini upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal geometri hiperbolik dan elips. Khayyam, bagaimanapun, mungkin sedikit dari pengecualian. Tidak seperti banyak komentator Euclid sebelum dan sesudah dia (termasuk Saccheri), Khayyam tidak berusaha untuk membuktikan paralel dalil seperti itu tetapi untuk mendapatkan dari setara sebuah postulat ia merumuskan dari "prinsip-prinsip Bertuah" (Aristoteles): "Dua konvergen garis lurus berpotongan dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka berkumpul. "[4] Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah Saccheri segiempat dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah tumpul dan kasus-kasus akut berdasarkan dalil dan karenanya diturunkan dalil klasik Euclid. pengecualian lain mungkin anak al-Tusi's, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai "Pseudo-Tusi"), yang menulis sebuah buku tentang subjek pada tahun 1298, berdasarkan pikiran kemudian al-Tusi, yang disajikan salah satu argumen awal untuk setara hipotesis non-Euclidean ke postulat paralel. "Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti banyak proposisi dari Elemen." Karyanya telah diterbitkan di Roma pada 1594 dan telah dipelajari oleh geometri Eropa, termasuk Saccheri. Vitale Giordano, dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin berjarak sama di pangkalan AB dan CD puncak, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan pada tahun 1733, Saccheri cepat dibuang geometri eliptik sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri elips untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasilnya menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. klaim-Nya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclid dia malah tidak sengaja menemukan geometri yang layak baru. Pada saat ini secara luas percaya bahwa alam semesta bekerja sesuai dengan prinsip-prinsip geometri Euclid. Awal abad ke-19 akan langkah-langkah yang menentukan akhirnya saksi dalam penciptaan geometri non-Euclidean. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hongaria János Bolyai dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut geometri Bolyai-Lobachevskian, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar dari geometri non-Euclidean. Gauss disebutkan untuk ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah mengembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelum, meskipun ia tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan postulat paralel, Bolyai bekerja di luar geometri dimana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada parameter k. Bolyai mengakhiri karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri Euclidean alam semesta fisik atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik. Pada 1840-an, Hermann Grassmann menulis sebuah Ph.D. tesis tentang aljabar abstrak dan aljabar eksterior, dimana ia berpendapat bahwa dimensi dari alam semesta fisik belum tentu tiga, tetapi mungkin tak terbatas.
Pada 1846 ia berasal koordinat dan kalkulus geometri metrik-gratis, cocok untuk kelas ruang termasuk affine dan proyektif spasi. Sayangnya meskipun pekerjaan Grassmann adalah penting untuk beberapa cabang matematika abad ke-20, sangat jauh di depan dari waktu yang teman-temannya tidak mengerti itu. Bernhard Riemann, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, menemukan bidang geometri Riemann, khususnya membahas ide-ide sekarang disebut manifold, metrik Riemann, dan kelengkungan. Dia membangun sebuah keluarga tak terbatas geometri non-Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean. Kadang-kadang ia tidak adil dikreditkan dengan hanya menemukan geometri eliptik, tetapi pada kenyataannya, konstruksi ini menunjukkan bahwa karyanya jauh, dengan teorema nya memegang untuk semua geometri. Pada sebuah bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan bola bukanlah sebuah ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik. Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi ini, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.
1250 - Nasir Al-Din Al-Tusi mencoba mengembangkan bentuk geometri non-Euclidean . Bolyai , Gauss , dan Lobachevsky menciptakan hiperbolik non-Euclidean geometri
Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclidean baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel. Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan. Non-euclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris pada permukaan melengkung, misalnya, permukaan bola atau permukaan dalam mangkuk.
Sebuah geometri non-Euclidean adalah studi tentang bentuk dan konstruksi yang tidak peta langsung ke setiap sistem Euclidean n-dimensi, dicirikan oleh Riemann tensor kelengkungan non-lenyap. Contoh geometri non-Euclidean termasuk geometri hiperbolik dan elips, yang dikontraskan dengan geometri Euclidean. Perbedaan esensial antara Euclid dan geometri non-Euclidean adalah sifat dari garis paralel. postulat kelima Euclid, dalil paralel, setara dengan postulat Playfair, yang menyatakan bahwa, dalam pesawat dua dimensi, untuk setiap garis yang diketahui ℓ dan titik A, yang tidak pada ℓ, ada tepat satu garis melalui A yang tidak tidak berpotongan ℓ. Dalam geometri hiperbolik, sebaliknya, ada banyak garis tak terbatas melalui A ℓ tidak berpotongan, sementara dalam geometri eliptik, setiap garis melalui A memotong ℓ (lihat entri pada geometri hiperbola, geometri eliptik, dan geometri mutlak untuk informasi lebih lanjut). Cara lain untuk menggambarkan perbedaan antara geometri adalah untuk mempertimbangkan dua garis lurus tanpa batas waktu diperpanjang pada bidang dua dimensi yang kedua tegak lurus ke baris ketiga: Dalam geometri Euclidean baris tetap pada jarak konstan dari satu sama lain bahkan jika diperpanjang hingga tak terbatas, dan dikenal sebagai paralel. Dalam geometri hiperbolik mereka "kurva jauh" dari satu sama lain, peningkatan jarak sebagai salah satu bergerak lebih jauh dari titik-titik persimpangan dengan tegak lurus umum; garis ini sering disebut ultraparallels. Dalam geometri eliptik baris "kurva terhadap" satu sama lain dan akhirnya berpotongan. Non-euclidean geometri dapat dipahami dengan membayangkan gambar tokoh geometris pada permukaan melengkung, misalnya, permukaan bola atau permukaan dalam mangkuk. Konsep-konsep geometri non-Euclidean. Non-Euclidean geometri sistem berbeda dari geometri Euclid dalam bahwa mereka memodifikasi postulat kelima Euclid, yang juga dikenal sebagai postulat paralel. Secara umum, ada dua bentuk (homogen) geometri non-Euclidean, geometri hiperbolik dan geometri eliptik. Dalam geometri hiperbolik ada garis yang jelas banyak melalui titik tertentu yang tidak akan bersinggungan dengan baris lain yang diberikan. Dalam geometri eliptik tidak ada baris yang tidak akan berpotongan, karena semua yang dimulai terpisah akan berkumpul. Selain itu, geometri eliptik memodifikasi postulat Euclid pertama sehingga dua titik menentukan sedikitnya satu baris. geometri Riemann berurusan dengan geometri yang tidak homogen, yang berarti bahwa dalam arti tertentu tidak semua poin yang sama. Sebagai contoh, perhatikan permukaan yang dibentuk dengan menempelkan salah satu ujung silinder setengah bola. Kemudian titik pada bola lokal mematuhi geometri eliptik, tetapi titik pada silinder secara lokal mematuhi geometri Euclidean. Bernhard Riemann, bangunan pada karya Gauss, menetapkan metode untuk menggambarkan ruang tersebut. Mendasarkan sistem baru pada asumsi-asumsi, masing-masing dibangun dengan aturan sendiri dan postulat. Non-Euclidean geometri dan geometri eliptik tertentu memainkan peran penting dalam teori relativitas dan geometri ruang-waktu.
Konsep diterapkan untuk pesawat non-Euclidean tertentu hanya dapat ditampilkan dalam tiga atau bahkan empat dimensi. Strip Möbius dan botol Klein keduanya adalah obyek satu sisi lengkap, mungkin di pesawat Euclidean. Strip Möbius dapat ditampilkan dalam tiga dimensi, tetapi botol Klein memerlukan empat. Non-Euclidean geometri ruang-waktu. Ruang lingkup geometri non-Euclidean meliputi teori ruang-waktu Herman Minkowski. Ini pengganti geometri bentuk bilinear untuk jarak metrik biasa. Konsep dalam geometri ini mengacu pada sudut hiperbolik daripada sudut Euclidean biasa, misalnya pemetaan bergerak memencet sudut ini seperti halnya sudut bergerak rotasi Euclidean biasa. Alih-alih garis tegak lurus, geometri ruang-waktu menggunakan garis hiperbolik-ortogonal yang menentukan hyperplanes simultanitas. Pondasi dari versi planar ruang-waktu dieksplorasi, menggunakan geometri sintetis, pada tahun 1912 oleh Gilbert N. Lewis dan Edwin B. Wilson di Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences 48:387-507. Lihat referensi bagi kutipan, "Synthetic ruang-waktu", termasuk definisi, aksioma 16, 21 teorema, dan berbagai corollaries oleh Lewis dan Wilson. Selanjutnya, geometri hiperbolik muncul dalam relativitas khusus sebagai berikut: kerangka acuan inersia ditentukan oleh kecepatan, dan diberi unit waktu, kecepatan masing-masing sesuai dengan suatu peristiwa di masa depan dari asal yang posisi pengamat dengan kecepatan setelah unit temporal. Peristiwa-peristiwa ini membentuk masa depan hyperboloid, dasar dari model hyperboloid geometri hiperbolik. Herman Minkowski membuat hubungan ini di atas kertas yang terkenal dari 1908. Sedangkan geometri Euclidean, dinamai Euclid matematikawan Yunani, termasuk beberapa dari matematika tertua, geometri non-Euclidean tidak secara luas diterima sebagai sah hingga abad ke-19. Perdebatan yang akhirnya mengarah pada penemuan geometri non-Euclidean dimulai segera setelah pekerjaan Euclid Elements ditulis. Dalam Elemen, Euclid dimulai dengan sejumlah asumsi (23 definisi, lima pengertian umum, dan lima postulat) dan berusaha untuk membuktikan semua hasil lainnya (proposisi) dalam pekerjaan. Yang paling terkenal dari postulat sering disebut sebagai "Postulat Euclid Kelima," atau sekadar "postulat sejajar", yang dalam perumusan asli Euclid adalah: Jika garis lurus jatuh pada dua garis lurus sedemikian rupa sehingga sudut interior pada sisi yang sama bersama-sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka garis-garis lurus, jika diproduksi tanpa batas waktu, bertemu di sisi di mana adalah sudut kurang dari dua sudut kanan.
Matematikawan lain telah menyusun bentuk yang lebih sederhana dari properti ini (lihat paralel postulat untuk laporan setara). Terlepas dari bentuk dalil, bagaimanapun, secara konsisten tampaknya lebih rumit daripada postulat Euclid lain (yang meliputi, misalnya, "Antara setiap dua titik garis lurus dapat ditarik"). Setidaknya selama seribu tahun, geometri yang terganggu oleh kompleksitas yang berbeda dari postulat kelima, dan diyakini dapat dibuktikan sebagai teorema dari empat lainnya. Banyak berusaha untuk menemukan bukti dengan kontradiksi, termasuk matematikawan Arab Ibn al-Haytham (Alhazen, abad ke-11), [2] matematikawan Persia Omar Khayyām (abad ke-12) dan Nasir al-Din al-Tusi (abad ke-13), dan ahli matematika Italia Giovanni Girolamo Saccheri (abad ke-18). Teorema Ibn al-Haytham, Khayyam dan al-Tusi pada segiempat, termasuk Lambert segiempat dan Saccheri segiempat, adalah "beberapa teorema pertama dari hiperbolik dan geometri eliptik." Teorema ini bersama dengan postulat alternatif, seperti aksioma Playfair, memainkan peran penting dalam pengembangan selanjutnya dari geometri non-Euclidean. Upaya-upaya awal pada dalil kelima menantang memiliki pengaruh besar terhadap perkembangan di antara geometri kemudian Eropa, termasuk Witelo, Levi ben Gerson, Alfonso, John Wallis dan Saccheri [3] Semua upaya ini dilakukan pada awal mencoba merumuskan non-Euclidean. Namun geometri memberikan bukti cacat dari postulat paralel, yang berisi asumsi yang pada dasarnya setara dengan postulat paralel. Ini upaya awal itu, bagaimanapun, memberikan beberapa sifat awal geometri hiperbolik dan elips. Khayyam, bagaimanapun, mungkin sedikit dari pengecualian. Tidak seperti banyak komentator Euclid sebelum dan sesudah dia (termasuk Saccheri), Khayyam tidak berusaha untuk membuktikan paralel dalil seperti itu tetapi untuk mendapatkan dari setara sebuah postulat ia merumuskan dari "prinsip-prinsip Bertuah" (Aristoteles): "Dua konvergen garis lurus berpotongan dan tidak mungkin untuk dua garis lurus konvergen menyimpang ke arah di mana mereka berkumpul. "[4] Khayyam kemudian dianggap sebagai tiga kasus yang tepat, tumpul, dan akut yang sudut puncak dari sebuah Saccheri segiempat dapat mengambil dan setelah membuktikan sejumlah teorema tentang mereka, ia benar membantah tumpul dan kasus-kasus akut berdasarkan dalil dan karenanya diturunkan dalil klasik Euclid. pengecualian lain mungkin anak al-Tusi's, Sadr al-Din (kadang-kadang dikenal sebagai "Pseudo-Tusi"), yang menulis sebuah buku tentang subjek pada tahun 1298, berdasarkan pikiran kemudian al-Tusi, yang disajikan salah satu argumen awal untuk setara hipotesis non-Euclidean ke postulat paralel. "Dia pada dasarnya revisi kedua sistem Euclidean aksioma dan dalil-dalil dan bukti-bukti banyak proposisi dari Elemen." Karyanya telah diterbitkan di Roma pada 1594 dan telah dipelajari oleh geometri Eropa, termasuk Saccheri. Vitale Giordano, dalam bukunya Euclide restituo (1680, 1686), menggunakan Saccheri segiempat untuk membuktikan bahwa jika tiga poin berjarak sama di pangkalan AB dan CD puncak, maka AB dan CD di mana-mana berjarak sama.
Dalam karya berjudul Euclides ab Omni Naevo Vindicatus (Euclid Dibebaskan dari Semua Cacat), yang diterbitkan pada tahun 1733, Saccheri cepat dibuang geometri eliptik sebagai kemungkinan (beberapa orang lain dari aksioma Euclid harus dimodifikasi untuk geometri elips untuk bekerja) dan mulai bekerja membuktikan besar jumlah hasil dalam geometri hiperbolik. Dia akhirnya mencapai titik di mana ia percaya bahwa hasilnya menunjukkan ketidakmungkinan geometri hiperbolik. klaim-Nya tampaknya telah didasarkan pada pengandaian Euclidean, karena tidak ada kontradiksi logis hadir. Dalam upaya untuk membuktikan geometri Euclid dia malah tidak sengaja menemukan geometri yang layak baru. Pada saat ini secara luas percaya bahwa alam semesta bekerja sesuai dengan prinsip-prinsip geometri Euclid. Awal abad ke-19 akan langkah-langkah yang menentukan akhirnya saksi dalam penciptaan geometri non-Euclidean. Sekitar tahun 1830, matematikawan Hongaria János Bolyai dan matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky terpisah diterbitkan risalah pada geometri hiperbolik. Akibatnya, geometri hiperbolik disebut geometri Bolyai-Lobachevskian, baik sebagai matematikawan, independen satu sama lain, adalah penulis dasar dari geometri non-Euclidean. Gauss disebutkan untuk ayah Bolyai, ketika ditampilkan karya Bolyai muda, bahwa ia telah mengembangkan seperti geometri sekitar 20 tahun sebelum, meskipun ia tidak mempublikasikan. Sementara Lobachevsky menciptakan geometri non-Euclidean dengan meniadakan postulat paralel, Bolyai bekerja di luar geometri dimana kedua Euclidean dan geometri hiperbolik yang mungkin tergantung pada parameter k. Bolyai mengakhiri karyanya dengan menyebutkan bahwa tidak mungkin untuk memutuskan melalui penalaran matematis saja jika geometri Euclidean alam semesta fisik atau non-Euclidean, ini adalah tugas untuk ilmu fisik. Pada 1840-an, Hermann Grassmann menulis sebuah Ph.D. tesis tentang aljabar abstrak dan aljabar eksterior, dimana ia berpendapat bahwa dimensi dari alam semesta fisik belum tentu tiga, tetapi mungkin tak terbatas.
Pada 1846 ia berasal koordinat dan kalkulus geometri metrik-gratis, cocok untuk kelas ruang termasuk affine dan proyektif spasi. Sayangnya meskipun pekerjaan Grassmann adalah penting untuk beberapa cabang matematika abad ke-20, sangat jauh di depan dari waktu yang teman-temannya tidak mengerti itu. Bernhard Riemann, dalam sebuah kuliah yang terkenal pada 1854, menemukan bidang geometri Riemann, khususnya membahas ide-ide sekarang disebut manifold, metrik Riemann, dan kelengkungan. Dia membangun sebuah keluarga tak terbatas geometri non-Euclidean dengan memberikan rumus untuk keluarga metrik Riemann pada bola unit dalam ruang Euclidean. Kadang-kadang ia tidak adil dikreditkan dengan hanya menemukan geometri eliptik, tetapi pada kenyataannya, konstruksi ini menunjukkan bahwa karyanya jauh, dengan teorema nya memegang untuk semua geometri. Pada sebuah bola, jumlah sudut segitiga tidak sama dengan 180 °. Permukaan bola bukanlah sebuah ruang Euclidean, tetapi secara lokal hukum geometri Euclidean adalah perkiraan yang baik. Dalam sebuah segitiga kecil di muka bumi ini, jumlah dari sudut sangat hampir 180 °.
1250 - Nasir Al-Din Al-Tusi mencoba mengembangkan bentuk geometri non-Euclidean . Bolyai , Gauss , dan Lobachevsky menciptakan hiperbolik non-Euclidean geometri
GEOMETRI EUCLIDES
Geometri Euklides adalah sebuah geometri klasik, terdiri atas 5 postulat, yang dinisbahkan terhadap matematikawan Yunani Kuno Euklides. Geometri Euklides merupakan sistem aksiomatik, di mana semua teorema ("pernyataan yang benar") diturunkan dari bilangan aksioma yang terbatas. Mendekati buku awalnya Elemen, Euklid memberikan 5 postulat:
1. Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus.
2. Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus.
3. Diberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat.
4. Semua sudut di kanan itu kongruen.
5. Postulat paralel. Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di 1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan, kedua garis itu harus bertemu satu sama lain di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi.
Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut, dikenal sebagai aksioma Playfair, yang terjadi di bidang datar: "Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan."
300 SM - Euclid dalam bukunya Elements studi geometri sebagai suatu sistem aksioma , membuktikan ketidakterbatasan dari bilangan prima dan menyajikan algoritma Euclidean , ia menyatakan hukum refleksi di Catoptrics, dan dia membuktikan teorema dasar aritmatika.
1899 - David Hilbert menyajikan satu set yang konsisten geometris aksioma-diri dalam Yayasan Geometri, 390 SM - Theon dari Alexandria (Θέων ο Αλεξανδρεύς) menghasilkan versi Euclid 's Elements (dengan perubahan tekstual dan beberapa tambahan) yang hampir semua edisi berikutnya didasarkan
1. Setiap 2 titik dapat digabungkan oleh 1 garis lurus.
2. Setiap garis lurus dapat diperpanjang sampai tak terhingga dengan garis lurus.
3. Diberikan setiap segmen garis lurus, sebuah lingkaran dapat digambar memiliki segmen ini sebagai jari-jari dan 1 titik ujung sebagai pusat.
4. Semua sudut di kanan itu kongruen.
5. Postulat paralel. Jika 2 garis bertemu di sepertiga jalan di mana jumlah sudut dalam di 1 sisi kurang dari 2 sudut yang di kanan, kedua garis itu harus bertemu satu sama lain di sisi itu jika diperpanjang lebih jauh lagi.
Postulat yang ke-5 membuka jalan bagi geometri yang sama seperti pernyataan berikut, dikenal sebagai aksioma Playfair, yang terjadi di bidang datar: "Melalui sebuah titik yang bukan pada garis lurus yang diberikan, hanya satu garis saja yang dapat ditarik dan tak pernah bertemu garis yang diberikan."
300 SM - Euclid dalam bukunya Elements studi geometri sebagai suatu sistem aksioma , membuktikan ketidakterbatasan dari bilangan prima dan menyajikan algoritma Euclidean , ia menyatakan hukum refleksi di Catoptrics, dan dia membuktikan teorema dasar aritmatika.
1899 - David Hilbert menyajikan satu set yang konsisten geometris aksioma-diri dalam Yayasan Geometri, 390 SM - Theon dari Alexandria (Θέων ο Αλεξανδρεύς) menghasilkan versi Euclid 's Elements (dengan perubahan tekstual dan beberapa tambahan) yang hampir semua edisi berikutnya didasarkan
AKSIOMA MATEMATIKA
Kata aksioma berasal dari Bahasa Yunani αξιωμα (axioma), yang berarti dianggap berharga atau sesuai atau dianggap terbukti dengan sendirinya. Kata ini berasal dari αξιοειν (axioein), yang berarti dianggap berharga, yang kemudian berasal dari αξιος (axios), yang berarti berharga. Di antara banyak filsuf Yunani, suatu aksioma adalah suatu pernyataan yang bisa dilihat kebenarannya tanpa perlu adanya bukti. Kata aksioma juga dimengerti dalam matematika. Akan tetapi, aksioma dalam matematika bukan berarti proposisi yang terbukti dengan sendirinya. Melainkan, suatu titik awal dari sistem logika. Misalnya, 1+1=2. Nama lain dari aksioma adalah postulat. Suatu aksioma adalah basis dari sistem logika formal yang bersama-sama dengan aturan inferensi mendefinisikan logika.
Aksioma matematika mengalami penurunan panjang dari eyrie kuno. Hampir 24 abad yang lalu itu diadakan untuk menjadi terbukti kebenaran-diri, suatu pernyataan yang benar-benar luar kecurigaan bahwa bisa salah. Hari ini memberitahu non-matematikawan yang aksioma adalah hanya sebuah premis atau aturan dalam permainan, titik awal.
Suatu aksioma membentuk formula yang ditetapkan daripada terbukti begitu melalui penerapan peraturan dari inferensi. Aksioma dan aturan inferensi bersama-sama menyediakan dasar untuk membuktikan semua teorema lainnya. Sebagai set berbeda aksioma dapat menghasilkan himpunan teorema ynag sama, mungkin ada banyak axiomatizations alternatif dari sistem formal. Tidak satupun dari ahli matematika dengan senang hati mengetahui sebenarnya di dalam hatinya atau lebih angkuh tentang aksioma sebagai 'ini' aturan permainan gambar resmi akan memimpin kita semua untuk berpikir. Mereka hanya memilih untuk tidak menghabiskan waktu mereka dalam 'filosofis' argumen dengan non-matematikawan mengenai apakah atau tidak aksioma yang mereka gunakan adalah 'benar
Aksioma matematika mengalami penurunan panjang dari eyrie kuno. Hampir 24 abad yang lalu itu diadakan untuk menjadi terbukti kebenaran-diri, suatu pernyataan yang benar-benar luar kecurigaan bahwa bisa salah. Hari ini memberitahu non-matematikawan yang aksioma adalah hanya sebuah premis atau aturan dalam permainan, titik awal.
Suatu aksioma membentuk formula yang ditetapkan daripada terbukti begitu melalui penerapan peraturan dari inferensi. Aksioma dan aturan inferensi bersama-sama menyediakan dasar untuk membuktikan semua teorema lainnya. Sebagai set berbeda aksioma dapat menghasilkan himpunan teorema ynag sama, mungkin ada banyak axiomatizations alternatif dari sistem formal. Tidak satupun dari ahli matematika dengan senang hati mengetahui sebenarnya di dalam hatinya atau lebih angkuh tentang aksioma sebagai 'ini' aturan permainan gambar resmi akan memimpin kita semua untuk berpikir. Mereka hanya memilih untuk tidak menghabiskan waktu mereka dalam 'filosofis' argumen dengan non-matematikawan mengenai apakah atau tidak aksioma yang mereka gunakan adalah 'benar
Langganan:
Postingan (Atom)