SEJARAH BILANGAN

Bilangan adalah objek matematika yang digunakan untuk menghitung dan mengukur. Sebuah simbol notasi yang mewakili suatu bilangan disebut angka tetapi dalam penggunaan umum, jumlah kata bisa berarti objek abstrak, simbol, atau kata untuk nomor tersebut. Selain penggunaannya dalam menghitung dan mengukur, angka yang sering digunakan untuk label (nomor telepon), untuk pemesanan (nomor seri), dan untuk kode (misalnya, ISBN). Dalam matematika , definisi nomor telah diperpanjang selama bertahun-tahun untuk menyertakan angka seperti nol , angka negatif , bilangan rasional , bilangan irasional , dan bilangan kompleks.

a) Bilangan Rasional

Kemungkinan bahwa konsep angka-angka pecahan tanggal untuk zaman prasejarah . The Mesir Kuno yang digunakan mereka fraksi Mesir notasi untuk bilangan rasional dalam teks-teks matematika seperti Rhind Matematika Papyrus dan Papyrus Kahun . matematikawan Yunani dan India klasik membuat studi tentang teori bilangan rasional, sebagai bagian dari studi umum dari teori bilangan . Yang paling terkenal di antaranya adalah Euclid's Elements , kira-kira 300 SM. Dari teks India, yang paling relevan adalah Sutra Sthananga , yang juga mencakup teori bilangan sebagai bagian dari studi umum matematika.
Sebuah bilangan rasional adalah nomor yang dapat dinyatakan sebagai pecahan dengan pembilang integer dan sejumlah nol penyebut alami non. Fraksi ditulis sebagai dua angka, pembilang dan penyebut, dengan bar pemisah antara mereka.
b) Bilangan Real
Bilangan real meliputi semua nomor pengukuran. Bilangan real biasanya ditulis menggunakan angka desimal, di mana titik desimal ditempatkan di sebelah kanan angka dengan nilai satu tempat. Setiap bilangan rasional juga merupakan bilangan real. Yaitu bahwa setiap bilangan real adalah rasional. Jika bilangan real tidak dapat ditulis sebagai sebagian kecil dari dua bilangan bulat, hal itu disebut tidak rasional .
c) Bilangan Komputasi
Pindah ke masalah perhitungan, yaitu bilangan komputasi yang ditentukan dalam himpunan bilangan real. Bilangan komputasi, juga dikenal sebagai bilangan rekursif atau real komputasi, yaitu bilangan real yang dapat dihitung untuk dalam setiap presisi yang diinginkan dalam algoritma. Definisi dapat dengan menggunakan -rekursif fungsi μ , Turing mesin atau λ-kalkulus sebagai representasi formal algoritma. Bilangan komputasi membentuk bidang tertutup yang nyata dan dapat digunakan di tempat bilangan real bagi banyak orang, tetapi tidak semua.
d) Angka
Bilangan harus dibedakan dari angka , simbol-simbol yang digunakan untuk mewakili angka. Boyer menunjukkan bahwa Mesir menciptakan sistem ciphered angka pertama. Yunani diikuti oleh pemetaan menghitung jumlah mereka ke dan Dorie huruf Ionia. Nomor lima dapat diwakili oleh kedua sepuluh angka dasar '5 ', oleh angka romawi '' dan ciphered surat Ⅴ. Notasi yang digunakan untuk mewakili angka-angka tersebut dibahas dalam artikel sistem angka . Sebuah perkembangan penting dalam sejarah angka adalah pengembangan sistem posisional, seperti desimal modern, yang dapat mewakili jumlah yang sangat besar. Angka Romawi memerlukan ekstra simbol untuk nomor lebih besar.
e) Bilangan Negatif
Konsep abstrak angka negatif diakui sedini 100 SM - 50 SM. The China " Sembilan Bab pada Seni Matematika "(Cina : Jiu-zhang Suanshu) berisi metode untuk menemukan bidang gambar; batang merah digunakan untuk menunjukkan koefisien positif , hitam untuk negatif. Ini adalah penyebutan awal dikenal angka negatif di Timur; referensi pertama dalam sebuah karya Barat berada di abad ke-3 di Yunani . Selama 600s, angka negatif digunakan di India untuk mewakili utang. sebelumnya referensi 'Diophantus dibicarakan secara lebih eksplisit oleh matematikawan India Brahmagupta , dalam Brahma-Sphuta-Siddhanta , yang menggunakan angka negatif 628 untuk menghasilkan bentuk umum rumus kuadrat yang masih digunakan sampai sekarang. Namun, pada abad ke-12 di India, Bhaskara memberikan akar negatif untuk persamaan kuadrat tetapi mengatakan nilai negatif "dalam hal ini tidak diambil, karena tidak memadai, orang tidak menyetujui akar negatif."
Matematikawan Eropa sebagian besar menolak konsep angka negatif sampai abad ke-17, meskipun Fibonacci diperbolehkan solusi negatif dalam masalah keuangan di mana mereka dapat diartikan sebagai hutang (pasal 13 dari Abaci , 1202) dan kemudian sebagai kerugian (dalam Flos ). Pada saat yang sama, Cina menunjukkan angka negatif baik dengan menggambar stroke diagonal melalui kanan paling nol angka yang sesuai's angka positif angka itu. Penggunaan pertama angka negatif dalam karya Eropa adalah dengan Chuquet selama 15 abad. Dia menggunakan mereka sebagai eksponen , tapi menyebut mereka sebagai "nomor tidak masuk akal".
Seperti baru-baru ini sebagai abad ke-18, itu adalah praktek umum untuk mengabaikan apapun hasil negatif yang dikembalikan oleh persamaan pada asumsi bahwa mereka berarti, seperti Rene Descartes lakukan dengan solusi negatif dalam sistem koordinat Cartesian .
f) Bilangan Irrasional
Penggunaan awal dikenal bilangan irasional berada di India Sulba Sutra terdiri antara 800-500 SM. The bukti-bukti keberadaan bilangan irasional pertama biasanya dihubungkan dengan Pythagoras , lebih khusus kepada Pythagoras Hippasus dari Metapontum , yang menghasilkan (paling mungkin geometri) bukti irasionalitas dari akar kuadrat dari 2 . Cerita berlanjut bahwa Hippasus menemukan bilangan irasional ketika mencoba untuk mewakili akar kuadrat dari 2 sebagai pecahan. Namun Pythagoras percaya pada kemutlakan angka, dan tidak bisa menerima keberadaan bilangan irasional. Dia tidak bisa menyangkal keberadaan mereka melalui logika, tetapi ia tidak bisa menerima bilangan irasional, sehingga ia dihukum mati Hippasus karena tenggelam.
Abad keenam belas membawa Eropa akhir penerimaa integral negatif dan angka pecahan. Pada abad ketujuh belas, matematikawan umumnya digunakan pecahan desimal dengan notasi modern. Ini bukan, bagaimanapun, sampai abad kesembilan belas yang matematikawan irrationals dipisahkan menjadi bagian-bagian aljabar dan transendental, dan sekali lagi melakukan studi ilmiah tentang irrationals. Hal itu tetap hampir berhenti beroperasi sejak Euclid . 1872 membawa publikasi teori-teori Karl Weierstrass (oleh muridnya Kossak ), Heine ( Crelle 's , 74), George Cantor (Annalen, 5), dan Richard Dedekind . Pada tahun 1869, Méray telah mengambil titik yang sama dari keberangkatan Heine, tetapi teori umumnya mengacu pada tahun 1872. Teman-metode Weierstrass benar-benar ditetapkan oleh Salvatore Pincherle (1880), dan Dedekind telah menerima menonjol tambahan melalui kerja nanti penulis (1888) dan dukungan oleh Paul Tannery (1894). Weierstrass, Cantor, dan Heine dasar teori mereka pada seri terbatas, sedangkan Dedekind mendirikan tentang gagasan perpotongan (Schnitt) dalam sistem bilangan real , memisahkan semua bilangan rasional ke dalam dua kelompok yang memiliki sifat karakteristik tertentu. Subjek telah menerima kontribusi kemudian di tangan Weierstrass, Kronecker (Crelle 's, 101), dan Méray.
Fraksi Lanjutan, terkait erat dengan bilangan irasional (dan karena Cataldi, 1613), mendapat perhatian dari Euler , dan pada pembukaan abad kesembilan belas membawa kekaguman melalui tulisan-tulisan Joseph Louis Lagrange . Kontribusi penting lainnya telah dibuat oleh Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), dan Gunther (1872). Ramus (1855) pertama menghubungkan subjek dengan penentu , yang dihasilkan, dengan kontribusi berikutnya Heine, Möbius , dan Gunther, dalam teori Kettenbruchdeterminanten. Dirichlet juga ditambahkan ke dalam teori umum, seperti yang banyak kontributor terhadap aplikasi subjek.
g) Bilangan Transendental dan real
Hasil pertama mengenai nomor transendental adalah Lambert 1761 bukti bahwa π tidak dapat rasional, dan juga bahwa n e adalah irasional jika n rasional (kecuali n = 0). (Konstanta e pertama kali sebagaimana dimaksud dalam Napier's 1618 bekerja pada logaritma .) Legendre diperpanjang bukti ini untuk menunjukkan bahwa π bukanlah akar kuadrat dari bilangan rasional. Pencarian untuk akar quintic persamaan derajat yang lebih tinggi dan merupakan pengembangan penting, teorema-Ruffini Abel ( Ruffini 1799, Abel 1824) menunjukkan bahwa mereka tidak bisa diselesaikan oleh radikal (formula hanya melibatkan operasi aritmatika dan akar). Oleh karena itu perlu untuk mempertimbangkan lebih luas bilangan aljabar (semua solusi untuk persamaan polinomial). Galois (1832) persamaan polinomial terkait dengan teori grup menimbulkan bidang teori Galois .
Keberadaan bilangan transendental pertama kali didirikan oleh Liouville (1844, 1851). Hermite terbukti pada tahun 1873 bahwa e adalah transendental dan Lindemann terbukti pada tahun 1882 yang π adalah transendental. Akhirnya menunjukkan bahwa himpunan semua bilangan real adalah tak terbatas namun himpunan semua bilangan aljabar adalah tak terbatas , sehingga ada jumlah bilangan transendental tak terbatas.
h) Bilangan Kompleks
Referensi sekilas awal ke akar kuadrat dari angka negatif ditemukan oleh Heron matematikawan dari Alexandria pada abad 1 Masehi, ketika ia menganggap volume suara mungkin frustum dari piramida . Mereka menjadi lebih menonjol ketika pada abad ke-16 ditutup formula untuk akar polinomial derajat keempat dan ketiga ditemukan oleh matematikawan Italia seperti Niccolo Fontana Tartaglia dan Gerolamo Cardano . Ia segera menyadari bahwa formula ini, bahkan jika seseorang hanya tertarik pada solusi nyata, kadang-kadang diperlukan manipulasi akar kuadrat dari angka negatif.