TEORI GROUP

Ada tiga akar sejarah teori grup : teori persamaan aljabar , teori bilangan dan geometri . Lagrange , Abel , dan Galois para peneliti awal dalam bidang teori grup.Studi awal kelompok-kelompok seperti itu mungkin akan kembali ke pekerjaan Lagrange pada abad ke-18. Namun, karya ini agak terisolasi, dan 1.846 publikasi Cauchy dan Galois lebih sering disebut sebagai awal dari teori grup. Teori ini tidak berkembang dalam ruang hampa, dan sebagainya 3 benang penting dalam sejarah pra-dikembangkan di sini. Salah satu akar mendasar dari teori grup adalah mencari solusi dari persamaan polinomial derajat lebih tinggi dari 4. Sumber pertama muncul dalam masalah membentuk persamaan derajat m m memiliki sebagai akar dari akar dari persamaan tertentu n> m derajat. Untuk kasus sederhana masalah kembali ke Hudde (1659). Saunderson (1740) menyatakan bahwa penentuan faktor kuadratik dari ekspresi bikwadratik harus mengarah ke persamaan sextic, dan Le Sœur (1748) dan Waring (1762 sampai 1782) masih dijabarkan lebih lanjut gagasan tersebut. Fondasi umum bagi teori persamaan dasar dari kelompok permutasi ditemukan oleh matematikawan Lagrange (1770, 1771), dan pada ini dibangun teori substitusi. Ia menemukan bahwa akar dari semua resolvents (résolvantes, réduites) yang dia periksa merupakan fungsi rasional dari akar persamaan masing-masing. Untuk mempelajari sifat-sifat fungsi ini ia menemukan Combinaisons Calcul des. Karya kontemporer Vandermonde (1770) juga mewarnai teori-teori yang akan datang. Ruffini (1799) mencoba bukti ketidakmungkinan memecahkan quintic tinggi persamaan. Ruffini dibedakan apa yang sekarang disebut intransitif dan transitif , dan imprimitive primitif kelompok dan, dan (1801) menggunakan grup dari suatu persamaan dengan nama l'assieme delle permutazioni. Dia juga mempublikasikan sebuah surat dari Abbati untuk dirinya sendiri, di mana ide kelompok menonjol. Galois usia lima belas, ditarik oleh teman sekelas. Galois menemukan bahwa jika r 1, r 2, ... n r adalah akar n dari suatu persamaan, selalu ada suatu grup permutasi dari r 's seperti itu.
Setiap fungsi dari invariabel akar dengan cara substitusi grup diketahui secara rasional, dan sebaliknya, setiap fungsi rasional ditentukan dari akar adalah invarian bawah substitusi grup. Dalam istilah modern, solvabilitas dari kelompok Galois melekat persamaan menentukan solvabilitas persamaan dengan radikal. Galois juga memberikan kontribusi kepada teori persamaan modular dan bahwa fungsi eliptik . Publikasi pertamanya pada teori grup dibuat pada usia delapan belas (1829), namun kontribusinya tidak begitu menarik perhatian sebelum publikasi mengumpulkan kertas pada 1846 (Liouville, Vol. XI). Galois dihormati sebagai ahli matematika pertama yang menghubungkan teori grup dan teori medan , dengan teori yang sekarang disebut teori Galois .
Grup mirip dengan kelompok Galois adalah (hari ini) disebut kelompok permutasi , konsep diselidiki secara khusus oleh Cauchy . Sejumlah teorema penting dalam teori grup awal karena Cauchy. Cayley's Pada teori kelompok, karena tergantung pada persamaan simbolik n θ = 1 (1854) memberikan definisi abstrak pertama kelompok terbatas . Grup terkait dengan geometri .Kedua, penggunaan sistematis kelompok dalam geometri, terutama dalam kedok kelompok simetri , diprakarsai oleh Klein 1872 program Erlangen . Studi tentang apa yang sekarang disebut kelompok Lie dimulai secara sistematis pada tahun 1884 dengan Lie Sophus , diikuti dengan karya Membunuh , Studi , Schur , Maurer , dan Cartan . (diskontinyu grup diskrit teori) dibangun oleh Felix Klein , Lie, Poincaré , dan Charles Emile Picard , khususnya sehubungan dengan bentuk modular dan monodromy . Teori grup sebagai subjek mandiri semakin dipopulerkan oleh Serret , yang merelakan bagian VI dari aljabar untuk teori itu; oleh Camille Jordan , yang Traité et des des substitusi persamaan algébriques ( 1870 ) adalah klasik, dan untuk Eugen netto (1882), yang Substitutions Teori dan Aplikasi untuk Aljabar diterjemahkan ke dalam bahasa Inggris oleh Cole (1892). Teoretisi kelompok lain dari abad kesembilan belas adalah Bertrand , Charles Hermite , Frobenius , Leopold Kronecker , dan Mathieu Émile serta Burnside , Dickson , Holder , Moore , Sylow , dan Weber . Konvergensi dari sumber di atas tiga menjadi sebuah teori yang seragam dimulai dengan Yordania Traité dan von Dyck ( 1882 ) yang pertama kali didefinisikan kelompok dalam pengertian modern penuh. Buku pelajaran dari Weber dan Burnside membantu mendirikan teori grup sebagai suatu disiplin. [9] Rumusan kelompok abstrak tidak berlaku bagi sebagian besar teori grup abad ke-19, dan formalisme alternatif diberikan dalam hal aljabar Lie.
Akhir abad ke-19. Grup pada periode 1870-1900 digambarkan sebagai kelompok terus Lie, kelompok terputus, kelompok hingga substitusi akar (bertahap yang disebut permutasi), dan kelompok hingga substitusi linear (biasanya bidang terbatas). Selama periode 1880-1920, kelompok dijelaskan oleh presentasi datang ke dalam kehidupan mereka sendiri melalui karya Arthur Cayley , Walther von Dyck , Dehn , Nielsen , Schreier , dan dilanjutkan pada periode 1920-1940 dengan karya Coxeter , Magnus , dan lain-lain untuk membentuk bidang teori grup kombinatorial . Kelompok Hingga pada periode 1870-1900 melihat seperti menyoroti sebagai teorema Sylow , Pemegang klasifikasi 's dari kelompok-bebas order persegi, dan awal awal teori karakter dari Frobenius. Sudah oleh 1860, kelompok automorphisms dari pesawat proyektif hingga telah dipelajari (oleh Mathieu ), dan pada 1870-an Felix Klein -teori kelompok visi 'geometri sedang direalisasikan dalam bukunya program Erlangen . Kelompok automorphism yang lebih tinggi proyektif dimensi ruang dipelajari oleh Jordan di Traité dan termasuk seri komposisi untuk sebagian besar yang disebut kelompok klasik , meskipun ia menghindari-prime bidang non menghilangkan kelompok kesatuan . Penelitian ini dilanjutkan dengan Moore dan Burnside , dan membawa ke dalam bentuk buku teks komprehensif oleh Leonard Dickson pada tahun 1901. Peran kelompok sederhana yang ditekankan oleh Jordan, dan kriteria untuk non-kesederhanaan dikembangkan oleh pemegang sampai ia mampu mengklasifikasikan kelompok sederhana order kurang dari 200.
Penelitian ini dilanjutkan dengan FN Cole (hingga 660) dan Burnside (hingga 1092), dan akhirnya dalam sebuah "awal milenium" proyek, sampai dengan tahun 2001 oleh Miller dan Ling pada tahun 1900. Kelompok terus menerus pada periode 1870-1900 berkembang pesatMembunuh dan kertas dasar Lie diterbitkan, teorema Hilbert dalam teori, invarian 1882 dll . Awal abad ke-20. Pada periode 1900-1940, tak terbatas "terputus" (sekarang disebut kelompok diskrit ) kelompok memperoleh kehidupan mereka sendiri. Terkenal masalah Burnside diantar dalam studi sub kelompok sewenang-wenang hingga kelompok linier dimensi atas bidang sewenang-wenang, dan memang kelompok sewenang-wenang. kelompok dasar dan kelompok refleksi mendorong perkembangan JA Todd dan Coxeter, seperti -Coxeter algoritma Todd dalam teori grup kombinatorial. aljabar kelompok , yang didefinisikan sebagai solusi dari persamaan polinomial (daripada bertindak pada mereka, seperti pada abad sebelumnya), banyak manfaat dari teori terus menerus Lie. Neumann menghasilkan penelitian mereka tentang jenis kelompok , kelompok yang didefinisikan oleh persamaan teoritis kelompok bukan daripada polinomial. Kelompok terus menerus juga memiliki ledakan pertumbuhan pada periode 1900-1940. Kelompok Topological mulai dipelajari sebagai demikian. Ada banyak prestasi besar dalam kelompok terus menerus: klasifikasi Cartan tentang aljabar Lie semisederhana, Weyl teori tentang representasi kelompok kompak, bekerja Haar dalam kasus lokal kompak. Hingga kelompok dalam 1900-1940 tumbuh sangat. Periode ini menyaksikan kelahiran teori karakter oleh Frobenius, Burnside, dan Schur yang membantu menjawab banyak pertanyaan abad ke-19 dalam kelompok permutasi, dan membuka jalan untuk sepenuhnya teknik baru dalam kelompok hingga abstrak.
Periode ini melihat karya Hall : di generalisasi dari Teorema Sylow untuk set sewenang-wenang dari bilangan prima yang merevolusi studi kelompok larut terbatas, dan di-komutator struktur kekuasaan p-kelompok ,termasuk ide-ide reguler p-kelompok dan isoclinism kelompok , yang merevolusi studi p-kelompok dan merupakan hasil utama pertama di daerah ini sejak Sylow. Periode ini melihat Zassenhaus 's terkenal -Zassenhaus teorema Schur pada keberadaan melengkapi dapat's generalisasi Aula subkelompok Sylow, serta kemajuan pada kelompok Frobenius , dan klasifikasi dekat kelompok Zassenhaus . Pertengahan abad ke-20 . Kedua kedalaman, luas dan juga dampak teori grup kemudian tumbuh. Domain mulai bercabang keluar ke bidang-bidang seperti kelompok aljabar , ekstensi kelompok , dan teori representasi . Dimulai pada 1950-an, dalam upaya kolaborasi yang sangat besar, kelompok teoretikus berhasil mengklasifikasikan semua hingga kelompok sederhana pada tahun 1982. Melengkapi dan menyederhanakan bukti klasifikasi adalah bidang penelitian aktif. Anatoly Maltsev juga membuat kontribusi penting untuk teori grup selama waktu ini, karya awal berada di logika di tahun 1930-an, tetapi di tahun 1940-an dia membuktikan sifat embedding penting dari semigrup menjadi kelompok-kelompok, membahas permasalahan isomorfisma cincin kelompok, mendirikan korespondensi Malçev untuk kelompok polisiklik, dan di tahun 1960-an kembali ke logika membuktikan berbagai teori dalam studi kelompok yang akan diputuskan. Earlier Sebelumnya, Alfred Tarski membuktikan teori grup elementer diputuskan .
Abad 20,Periode 1960-1980 adalah salah satu kegembiraan di banyak bidang teori grup. Dalam kelompok terbatas, ada tonggak independen. Satu memiliki penemuan 22 kelompok sporadis baru, dan penyelesaian generasi pertama dari klasifikasi kelompok sederhana hingga . Satu memiliki gagasan berpengaruh dari subkelompok Carter , dan penciptaan berikutnya teori pembentukan dan teori kelas kelompok. Satu memiliki ekstensi yang luar biasa dari teori Clifford oleh Green pada modul-modul yg tak dpt dibagi dalam aljabar kelompok. Selama era ini, bidang teori grup komputasi menjadi bidang studi yang diakui, karena sebagian sukses luar biasa selama klasifikasi generasi pertama. Dalam kelompok diskrit, metode geometris Tits dan ketersediaan surjectivity dari itu peta Lang diperbolehkan sebuah revolusi dalam kelompok aljabar. Ini masalah Burnside telah kemajuan luar biasa, dengan tandingan lebih baik dibangun di 80-an dan awal 60-an, tetapi sentuhan akhir "untuk semua tapi banyak finitely" yang tidak selesai sampai 90-an. Pekerjaan pada masalah peningkatan minat Burnside aljabar Lie di p eksponen, dan metode Lazard mulai melihat dampak yang lebih luas, terutama dalam studi p-kelompok. kelompok terus menerus memperluas cukup, dengan ADIC analitik pertanyaan-p menjadi penting. Banyak dugaan dilakukan selama ini, termasuk dugaan coclass.
Akhir abad ke-20 .Dua puluh tahun terakhir abad kedua puluh menikmati keberhasilan lebih dari seratus tahun belajar di teori grup. Dalam kelompok terbatas, posting hasil klasifikasi termasuk -Scott teorema O'Nan , klasifikasi Aschbacher, klasifikasi kelompok biak hingga transitif, penentuan subkelompok maksimal kelompok sederhana dan klasifikasi yang sesuai kelompok primitif . Dalam geometri dan kombinatorik terbatas, banyak masalah sekarang bisa diselesaikan. Teori representasi modular memasuki era baru sebagai teknik klasifikasi itu axiomatized, termasuk sistem fusi, Puig teori tentang pasangan dan blok nilpotent.
Teori group larut hingga itu juga berubah oleh buku berpengaruh Doerk-Hawkes yang membawa teori proyektor dan injector ke khalayak yang lebih luas. Dalam kelompok diskrit, beberapa wilayah geometri datang bersama-sama untuk menghasilkan bidang baru yang menarik. Bekerja pada teori simpul , orbifolds , manifold hiperbolik , dan kelompok-kelompok yang bertindak atas pohon (di -Serre teori Bass ), banyak meramaikan studi tentang kelompok hiperbolik , kelompok otomatis . Pertanyaan seperti Thurston 's 1982 geometrization dugaan , terinspirasi sepenuhnya teknik baru dalam teori grup geometrik dan topologi dimensi rendah , dan terlibat dalam larutan salah satu Millenium Prize Masalah , yang dugaan Poincaré . Kelompok terus-menerus melihat solusi dari masalah pendengaran bentuk drum pada tahun 1992 menggunakan kelompok simetri dari operator Laplacian . Teknik secara kontinyu diterapkan pada banyak aspek teori grup menggunakan fungsi ruang-ruang dan kelompok kuantum Banyak masalah abad ke-18 dan ke-19 sekarang ditinjau dalam pengaturan ini lebih umum, dan banyak pertanyaan dalam teori representasi kelompok memiliki jawaban. Teori grup terus menjadi suatu hal yang sangat dipelajari. Arti pentingnya untuk matematika kontemporer secara keseluruhan dapat dilihat dari tahun 2008 Abel Prize , diberikan kepada John Griggs Thompson dan Jacques Tits atas kontribusi mereka teori grup.